7．2.3　同角三角函数的基本关系式（教师版）

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 1.理解同角三角函数的基本关系式．　2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 思考1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 思考2　如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？ INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT 提示：若余弦不为0，则正切等于正弦与余弦的比值，即tan α＝＝； 因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1. 1．基本关系 类别 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____ 商数关系 ＝_____(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的____等于角α的正切 2.公式变形 sin2α＋cos2α＝1 tan α＝ 点拨　(1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的． [答案自填] 1　1　tan α　商 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α； (2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【解】　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝， 又α是第二象限角，所以cosα＝－，tan α＝＝－. (2)由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝. 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角时，则cos α＝， sin α＝；当α是第三象限角时，则cos α＝－， sin α＝－. eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解． INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解． INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT [提醒]　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论．　 [跟踪训练1] (1)已知α为第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由题意，sin α＝－cos α，即cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，联立可得sin 2α＝.又α为第四象限角，则sin α＝－.故选B. (2)已知α为钝角，sin α＝，则cos α＝_____. 解析：因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，因为α为钝角，所以cos α＝－. 答案：－ 角度1　利用弦切互化求值 INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE ".. ... ...