2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标6.2.4　向量的数量积（含解析）

6.2.4　向量的数量积 一．选择题 1.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 2.已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=1,则|m-n|等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)等于(　　) A B.- C.- D 4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b等于(　　) A.3 B C D 5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的为(　　) A.|a·b|=|a||b| a∥b B.a,b反向 a·b=-|a||b| C.a⊥b |a+b|=|a-b| D.|a|=|b| |a·c|=|b·c| 6.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 7.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(　　) A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 8.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a上的投影向量为(　　) A.3a B.-a C.-3a D.a 9.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是(　　) A B C D 二．填空题 10.若向量a,b满足|a|=,|b|=1,a·(a+b)=1,则向量a,b的夹角的大小为　　　　　. 11.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=　　　　　. 12.设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=|a-kb|(k>0).若a与b的夹角为60°,则k=　　　　　. 13.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为　　　　　. 三．解答题 14.已知向量a,b,|a|=4,|b|=2. (1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|; (2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ. 15.如图,在平面内将两个直角三角形拼接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b. (1)试用a,b表示向量; (2)若|b|=1,求. 16.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求: (1)a与b的夹角; (2)a-b与a+b的夹角的余弦值. 17.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直 6.2.4　向量的数量积 一．选择题 1.平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°. A 2.∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-21+1=1, ∴|m-n|=1. D 3.∵|a|=1,|b|=,a与b的夹角为, ∴a·b=1cos, ∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=2+-3= A 4.设向量a,b的夹角为θ. ∵a在b上的投影向量为|a|cos b, ,即|a|cos θ=, ∴a·b=|a||b|cos θ=3 D 5． A.∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角), ∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆,故命题A是真命题. B.若a,b反向,则a,b的夹角为π, ∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆,故命题B是真命题. C.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,所以有a⊥b,故命题C是真命题. D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|,故命题D是假命题. ABC 6．由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误; ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3, ∴|a+b|=,故A错误; ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0, ∴(4a+b)⊥b,故C正确; a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确. CD 7.因为|a|=2,|b|=5,a·b=-6, 所以cos θ==- 又θ∈[0,π],所以sin θ=, 所以|a×b|=|a||b|sin θ=2×5=8. A 8设向量a,b的夹角为θ.由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a上的投影向量为|b|cos a=-a. B 9.Δ=a2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b夹角),若方程有实根,则有Δ≥0即a2-4|a||b|cos θ≥0,因为|a|=2|b|,所以4|b|2-8|b|2cos θ≥0,所以cos 又因为0≤θ≤π, ... ...