2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示（含解析）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 一．选择题 1.设a=(-1,2),b=(-1,1),c=(3,-2),用a,b作基底,可得c=pa+qb,则(　　) A.p=4,q=1 B.p=1,q=4 C.p=0,q=4 D.p=1,q=-4 2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于(　　) A.-2 B.2 C.- D 3.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于(　　) A.45° B.30° C.60° D.30°或60° 4.已知平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至点E,使||=|,则点E的坐标为(　　) A.(3,-6) B C D 5.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述正确的是(　　) A.不存在实数x,使a∥b B.不存在实数x,使(a-b)∥b C.存在实数x,使(a+b)∥a D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b 6.(2025上海奉贤高一期中)已知集合Ω是平面直角坐标系内的点集,O为坐标原点.若任取P1,P2∈Ω,均存在不全为0的实数λ1,λ2,使得λ1+λ2=0,则点(2,4) Ω的充分条件是 (　　) A.(0,0)∈Ω B.(1,2)∈Ω C.(2,1)∈Ω D.(-2,-4)∈Ω 7.(2025广东深圳高一期中)如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的动点,若=x+y,则x+4y的取值范围为　　　　　. 二．填空题 8.已知向量a=(1,-2),向量b与a共线,且|b|=4|a|,则b=　　　　　　　　　　. 9.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　. 10.已知A(2,0),B(0,2),若,则点C的坐标是　　　　　　　. 三．解答题 11.设点A(-1,2),B(n-1,3),C(-2,n+1),D(2,2n+1),若向量共线且同向,求n的值. 12.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2),O为坐标原点. (1)求线段BD的中点M的坐标; (2)若点P(2,y)满足=(λ∈R),求y与λ的值. 13.(探究点二)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及的坐标. 14.(探究点二·2025上海高一期中)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且点E满足. (1)求点E的坐标; (2)若点F满足,判断向量与向量是否共线,并证明你的结论. 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 一．选择题 1.∵c=pa+qb, ∴(3,-2)=p(-1,2)+q(-1,1), 解得 D 2.因为向量a=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1), ma+nb=(2m-n,3m+2n). 因为a-2b与非零向量ma+nb共线, 所以4(3m+2n)+(2m-n)=0, 解得14m=-7n,=- C 3.由a∥b,得-2=1-cos2θ=sin2θ, ∵θ为锐角,∴sin θ=,∴θ=45°. A 4.,∴A为BC的中点,, 设点C(xC,yC),则(xC-2,yC+1)=(1,-5), ∴点C的坐标为(3,-6). 又||=|,且点E在DC的延长线上, =- 设点E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),得解得 故点E的坐标是 B 5当a∥b时,x2+9=0,方程无解,故A正确;因为a-b=(x+3,3-x),当(a-b)∥b时,x(x+3)+3(3-x)=0,即x2+9=0,方程无解,故B正确;因为a+b=(x-3,3+x),当(a+b)∥a时,3(x-3)-x(3+x)=0,即x2+9=0,方程无解,故C不正确;当m=0时,ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b,故D正确. ABD 6..C　因为存在不全为0的实数λ1,λ2,使得λ1+λ2=0,即共线.设P(2,4),选项中的点为Q, 则(2,4) Ω的充分条件,即不共线, 对于A,=0,共线; 对于B,=(1,2)=共线; 对于C,=(2,1)≠λ不共线; 对于D,=(-2,-4)=-共线. 故选C. 7. .[1,2]　不妨设||=||=1,以O为坐标原点,以OA所在的直线为x轴,过O作OA的垂线为y轴,建立平面直角坐标系, 如图,设∠AOC=θ, 则C(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,且A(1,0),B(-),可得=(1,0),=(-),=(cos θ,sin θ),又=x+y,所以(cos θ,sin θ)=x(1,0)+y(-), 则 所以x+4y=cos θ+3sin θ=2cos θ+sin θ)=2sin(θ+α),其中sin α=,cos α=,tan α=,不妨设α∈(0,).由于0≤θ≤,所以sin(θ+α)可取到最大值1,当θ=0时,sin(θ+α)取得最小值,所以1≤2sin(θ+α)≤2,所以x+4y∈[1,2]. 二．填空题 8.因为b∥a,令b=λa=(λ,-2λ),又|b|=4|a|,所以|λ|=4,λ=±4,所以b=(4,-8)或(-4,8). ... ...