培优课　活用基本不等式求最值

培优课　活用基本不等式求最值 1.已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.3＋ C.3＋2 D.6 3.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知a＞0，b＞0，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A.λ≥5 B.λ≥9 C.λ≤5 D.λ≤9 5.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为（　　） A.4 B. C.＋2 D.2＋1 6.〔多选〕若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（　　） A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.a2＋b2≥8 7.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　） A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2 8.已知x＞0，则的最大值为　　　　. 9.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值为　　　　. 10.已知x＞－1，则的最小值为　　　　. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 12.已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求： （1）4x2＋y2的最小值； （2）2x＋y的最大值. 13.设x＞0，y＞0. （1）若x＋y＝2，求＋的最大值； （2）若x2＋＝1，求x的最大值. 1 / 1重点解读 1.会根据题目特征选用常数代换法、分式分离法、消元法求最值（逻辑推理、数学运算）. 2.会利用基本不等式求参数的值（范围）（逻辑推理、数学运算）. 一、常数代换法求最值 【例1】　（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为（　A　） A.5 B.4 C.4 D.2 解析：因为x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝5.当且仅当即时等号成立，故＋的最小值为5.故选A. （2）已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为（　B　） A.4 B.9 C.10 D.20 解析：因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时乘以得＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝＋4＋1＋≥2＋5＝9，当且仅当即时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. 【规律方法】 常数代换法的应用技巧 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 训练1　（1）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值； 解：因为＋＝1，所以x＋y＝（x＋y）＝10＋＋. 因为x＞0，y＞0， 所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立. 因为＋＝1， 所以当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16，所以x＋y的最小值为16. （2）已知a＞0，b＞0，若a＋b＝2，求＋的最小值. 解：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2， 则＋＝（a＋b）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当b＝2a即a＝，b＝时，等号成立，因此＋的最小值为18. 二、分式分离法求最值 【例2】　函数y＝（x＞－1）的最小值是（　　） A.10 B.12 C.13 D.14 解析：A　法一　y＝＝＝（x＋1）＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立. 法二　令x＋1＝t＞0，所以x＝t－1，所以y＝＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当t＝，t＝3，即x＝2时，等号成立.故选A. 【规律方法】 　　分式分离法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离———将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值. 训练2　已知x＞1，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为x＞1，所以x－1＞0，＝＝≤＝，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号.故选A. 三、消元法求最值 【例3】　已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－ ... ...