培优课　一元二次不等式恒、能成立问题

培优课　一元二次不等式恒、能成立问题 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　） A. B. C. D. 2.关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　） A.{m｜0＜m＜4} B.{m｜m＜－2或m＞2} C.{m｜－2≤m≤2} D.{m｜－2＜m＜2} 3.对任意实数x，式子均有意义，则实数k的取值范围是（　　） A.k≤8 B.0≤k＜8 C.0≤k≤8 D.k＞8 4.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（　　） A.{m｜m≤－2或m≥2} B.{m｜－2≤m≤2} C.{m｜m＜－2或m＞2} D.{m｜－2＜m＜2} 5.若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A.t≤2 B.t≥2 C.t≤4 D.t≥4 6.〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（　　） A.a＜1 B.a≤1 C.a＜2 D.a＜0 7.〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（　　） A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0 C.c≥1 D.b＋c≥0 8.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 9.若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是　　　　. 10.命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值范围为　　　　. 11.已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B（－1，0），且与反比例函数y＝交于点M（3，4）. （1）求二次函数与反比例函数的表达式； （2）若对 x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围. 13.已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）. （1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a的值； （2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 2重点解读 1.理解一元二次不等式恒、能成立问题的区别及不同的表述形式（直观想象、逻辑推理）. 2.会求一元二次不等式在R上（或在给定区间上）的恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求一元二次不等式中简单的能成立问题（直观想象、逻辑推理）. 一、在R上恒成立问题 【例1】　已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}. 【规律方法】 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立 　　提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定要讨论二次项系数是否为0. 训练1　已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}. 解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，∴Δ＝a2－4（3－a）＝a2＋4a－12≤0，即（a－2）（a＋6）≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}. 二、在给定范围上的恒成立问题 【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围. 解：令y＝x2＋mx＋4， ∵y＜0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得解得m＜－5， ∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}. 【规律方法】 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx ... ...