4.4.3　不同函数增长的差异

4.4.3　不同函数增长的差异 课标要求 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型（直观想象）. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义（数学抽象）. 3.能根据具体问题选择合适的函数模型（数学建模）. 情境导入 1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？ 知识点一｜三种常见函数模型的增长差异 问题　观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间（0，＋∞）上的图象，思考以下两个问题： （1）三个函数在区间（0，＋∞）上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间（0，＋∞）上的图象都是上升的，即单调递增. （2）当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢. 【知识梳理】 　三种常见函数模型的增长差异 　　　函数 性质 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝kx（k＞0） 在（0，＋∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax（a＞1）的增长速度最终都会大大超过　y＝kx（k＞0）　的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有　logax＜kx　 增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有　ax＞kx＞logax　 　　提醒：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型；（3）一次函数增长速度不变，平稳变化；（4）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 【例1】　（1）下列函数中，增长速度最快的是（　A　） A.y＝2 025x B.y＝ C.y＝log2 025x D.y＝2 025x 解析：比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快. （2）三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（　C　） A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C. 【规律方法】 常见的函数模型及增长特点 （1）一次函数模型：一次函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变； （2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”； （3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓； （4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是（　　） A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x2 D.y＝6x 解析：B　D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越来越快；只有B ... ...