5.1.2　弧度制

5.1.2　弧度制 课标要求 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化（数学抽象）. 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式（数学运算）. 　　 情境导入 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 知识点一｜弧度制的概念 问题1　（1）1度的角是如何规定的？ 提示：1度的角等于周角的. （2）在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：圆心角是确定的. （3）如图， 设α＝n°，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ＝r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值是多少？ 提示：因为l1＝，所以＝n·. 【知识梳理】 1.弧度制 我们规定：长度等于　半径　长的　圆弧　所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 2.弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么｜α｜＝. 3.一般地，正角的弧度数是一个　正数　，负角的弧度数是一个　负数　，零角的弧度数是　0　. 　　提醒：角度制与弧度制是度量角的两个不同的单位制.它们之间的区别与联系如下： 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 【例1】　下列说法正确的是（　　） A.1弧度的角与1°的角一样大 B.若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C.经过30分钟分针转了π D.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 解析：B　对于A，根据弧度制定义可知A错误；对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为60°，即，故B正确；对于C，经过30分钟分针转了－π，故C错误；对于D，圆心角的大小与半径无关，所以大圆中1弧度的圆心角与小圆中的1弧度的圆心角相等，故D错误.故选B. 【规律方法】 1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. 2.｜α｜的大小等于的值，α的正负由射线的旋转方向确定. 训练1　下列说法中正确的为①③.（填序号） ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； ②用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关； ③1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. 知识点二｜角度制与弧度制的互化 问题2　一个角的度数是否对应一个弧度数？ 提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的. 【知识梳理】 弧度与角度的换算 【例2】　（1）把下列各角度化为弧度： ①15°；②36°；③－105°；④145°. 解：①15°＝15×＝. ②36°＝36×＝. ③－105°＝－105×＝－. ④145°＝145×＝. （2）把下列各弧度化为角度： ①－；②π；③－1.5；④. 解：①－＝－×＝－90°. ②＝×＝600°. ③－1.5＝－1.5×＝－. ④＝×＝. 【规律方法】 角度与弧度互化技巧 　　在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，即：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝（α·）°，n°＝n· rad. 训练2　（1）把下列角度化为弧度： ①－1 500°＝－；②67°30'＝. 解析：①－1 500°＝－1 500×＝－π. ②67°30'＝67.5°＝67.5×＝. （2）把下列弧度化为角度： ①＝690°；②－＝－390°. 解析：①＝（×）°＝690°. ②－＝－（×）°＝－390°. 知识点三｜用弧度制表示角的集合 问题3　（1）给定一个角（弧度数），能否写出与它终边相同角的集合？ 提示：能.若给定角为 ... ...