5.4.2第二课时　正弦、余弦函数的单调性与最值

第二课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 课标要求 1.了解正弦函数与余弦函数的单调性（直观想象）. 2.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期变化的规律，会求单调区间（逻辑推理）. 3.会比较三角函数值的大小，会求正弦函数与余弦函数的最值、值域等问题（数学运算）. 　　 情境导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.如图一个过山车的轨道是一条正（余）弦曲线的一部分，其行进方式为从起点爬升、滑落，再爬升，再滑落循环开往终点.人坐在车内，离地面的高度一会增加，一会减少，一会儿到达最高处，一会儿又滑落到最低处，类似这种现象生活中的实例很多，如冲浪运动、无线电波的传输等，为此，我们今天将其抽象为正弦、余弦函数，研究它的单调性及最值问题. 知识点一｜正弦、余弦函数的单调性 问题1　（1）观察正弦（余弦）曲线，研究正弦（余弦）函数的单调性时，我们是否需要画出它们在R上的图象？ 提示：不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来. （2）如图，观察正弦函数图象，描述正弦函数在区间［－，］内的单调性. 提示：正弦函数y＝sin x在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减. （3）根据函数单调性的定义，如何描述整个定义域上的正弦函数的单调性呢？ 提示：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递增；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递减. 【知识梳理】 正弦函数 余弦函数 图象 单调性 增区间 　［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z　 　[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z　 减区间 　［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z　 　[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z　 　　提醒：（1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. 角度1　求正弦、余弦型函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间： （1）y＝cos（＋）； 解：当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间是［4kπ－，4kπ－］（k∈Z）. 当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减， 故函数的单调递减区间是［4kπ－，4kπ＋］（k∈Z）. （2）y＝3sin（－2x）. 解：y＝3sin（－2x）＝－3sin（2x－）， 要求y＝－3sin（2x－）的单调递增区间即求y＝sin（2x－）的单调递减区间， 即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin（－2x）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 要求y＝－3sin（2x－）的单调递减区间即求y＝sin（2x－）的单调递增区间， 即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin（－2x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 【规律方法】 求正、余弦函数的单调区间的策略 （1）结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； （2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，方法亦如此. 训练1　（1）在区间[0，2π]中，使y＝sin x与y＝cos x都单调递减的区间是（　　） A.［0，］ B.［，π］ C.［π，］ D.［，2π］ 解析：B　在区间[0，2π]中，y＝sin x的减区间是［，］，y＝cos x的减区间是[0，π]；∴y＝sin x和y＝cos x的公共减区间是［，］∩[0，π]＝［，π］，故选B. （2）求函数y＝2cos（2x－）的单调区间. 解：令2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z）， 即2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z）， ∴kπ－≤x≤ ... ...