5.4.2第一课时　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

第一课时　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 课标要求 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义（数学抽象）. 2.会求常见三角函数的周期（数学运算）. 3.会根据已学过的知识，结合函数的图象研究三角函数的奇偶性（直观想象）. 情境导入 　　潮涨潮落、月圆月缺、四季交替等是自然界中按一定的规律周而复始出现的现象.在数学中，我们如何刻画现实中这些周期性的变化规律呢？本节利用三角函数这一数学模型研究现实生活中具有周期现象的变化规律.根据这种变化规律再研究三角函数的其他性质. 知识点一｜正弦、余弦函数的周期性 问题1　（1）正弦函数图象上，横坐标每相隔2π个单位长度，图象就会重复出现，其理论依据是什么？ 提示：由诱导公式sin（x＋2kπ）＝sin x（k∈Z）可知，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. （2）根据以上现象和理论依据，你能否说明f（x）＝sin x，x∈R函数值是周期变化的？周期是多少？ 提示：根据sin（x＋2kπ）＝sin x，k∈Z，x∈R可知，如当k＝1时，存在一个2π，对 x∈R可得sin（x＋2π）＝sin x，说明y＝sin x，x∈R的值每隔2π就重复出现，故y＝sin x，x∈R为周期函数，2π为它的周期. （3）正弦函数f（x）＝sin x的周期是否唯一？正弦函数f（x）＝sin x的周期有哪些？ 提示：正弦函数f（x）＝sin x的周期不止一个.±2π，±4π，±6π…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个2π的整数倍都是它的周期. 【知识梳理】 1.函数的周期性 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个　非零常数T　，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数.　非零常数T　叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小的正数　，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 3.正弦函数是　周期函数　，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π. 4.余弦函数是　周期函数　，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π. 　　提醒：（1）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求；（2）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. 【例1】　求下列三角函数的最小正周期T： （1）f（x）＝sin（x＋）； 解：令z＝x＋， 因为sin（2π＋z）＝sin z， 所以f（2π＋z）＝f（z），则f（（x＋2π）＋）＝f（x＋），所以函数f（x）＝sin（x＋）的最小正周期T＝2π. （2）f（x）＝cos（2x＋）； 解：法一（定义法）　因为f（x）＝cos（2x＋）＝cos（2x＋＋2π）＝cos［2（x＋π）＋］＝f（x＋π），即f（x＋π）＝f（x）， 所以函数f（x）＝cos（2x＋）的最小正周期T＝π. 法二（公式法）　因为f（x）＝cos（2x＋），所以ω＝2. 又最小正周期T＝＝＝π， 所以函数f（x）＝cos（2x＋）的最小正周期T＝π. （3）f（x）＝｜sin x｜. 解：法一　因为f（x）＝｜sin x｜， 所以f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＝｜－sin x｜＝｜sin x｜＝f（x），故f（x）的最小正周期为π. 法二　画出函数y＝｜sin x｜的图象，如图所示， 由图象可知f（x）的最小正周期T＝π. 【规律方法】 求函数周期的方法 （1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f（x＋T）＝f（x）的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数； （2）公式法：对形如y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）的函数，可利用T＝来求； （3）图象法：画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 训练1 ... ...