5.4.3　正切函数的性质与图象

5.4.3　正切函数的性质与图象 课标要求 1.了解正切函数图象的画法（直观想象）. 2.理解并掌握正切函数的性质（逻辑推理）. 3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题（数学运算）. 情境导入 　　前面已学习了正（余）弦函数的图象的作法，并由函数图象研究了它们的性质，根据定义或同角三角函数的关系知，正切函数是正弦与余弦的比，且定义域为{xx≠kπ＋，k∈Z}，那么正切函数是否也具有周期性、奇偶性、单调性、对称性及最值呢？你能选择合适的方法更简单的研究正切函数吗？ 　　 知识点一｜正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题1　（1）角的正切是如何定义的？正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 提示：＝tan α（α≠＋kπ，k∈Z），正切函数y＝tan x的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}. （2）我们知道tan（x＋π）＝tan x，那么tan（x＋kπ）（k∈Z）与tan x相等吗？ 提示：相等.tan（x＋kπ）＝tan x. 【知识梳理】 1.周期性：由诱导公式tan（x＋π）＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是　周期函数　，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan（－x）＝－tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是　奇函数　. 　　提醒：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T＝. 角度1　求定义域 【例1】　函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（　　） A.　　 　　B. C. D. 解析：D　由正切函数的定义域，令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋（k∈Z），所以函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}.故选D. 【规律方法】 求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 训练1　函数f（x）＝tan（－）的定义域为{x｜x≠2kπ－，k∈Z}. 解析：函数f（x）＝tan（－）有意义，则－≠kπ－，k∈Z，解得x≠2kπ－，k∈Z，所以函数f（x）＝tan（－）的定义域为{x｜x≠2kπ－，k∈Z}. 角度2　判断函数的奇偶性、求周期 【例2】　（1）函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　B　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 解析：函数的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称.又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数为偶函数.故选B. （2）函数f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期为（　A　） A. B. C.π D.2π 解析：函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 【规律方法】 1.函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法 （1）定义法：存在一个非零常数T，使得对y＝Atan（ωx＋φ）的定义域内的每一个x，都有x＋T∈D，且Atan[ω（x＋T）＋φ]＝Atan（ωx＋φ），那么非零常数T为y＝Atan（ωx＋φ）的周期； （2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝； （3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系. 训练2　（1）函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　D　） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析：f（x）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}，且f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，T＝. （2）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝atan 3x＋4，若f（5）＝6，则f（－5）＝2. 解析：设g（x）＝atan ... ...