5.5.1第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课标要求 1.会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用（数学运算）. 　　 情境导入 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系. 知识点一｜二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题　（1）请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式. 提示：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， tan（α＋β）＝（其中α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z）. （2）当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：当α＝β时，sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，tan 2α＝. 【知识梳理】 二倍角公式 函数 公式 简记符号 正弦 sin 2α＝　2sin αcos α　 S2α 余弦 cos 2α＝　cos2α－sin2α　＝　2cos2α－1　＝　1－2sin2α　 C2α 正切 tan 2α＝　　（α，2α≠＋kπ，k∈Z） T2α 　　提醒：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的. 【例1】　求下列各式的值： （1）（cos －sin ）（cos＋sin ）； 解：原式＝cos2－sin2＝cos（2×）＝cos＝. （2）； 解：原式＝＝＝. （3）tan 15°＋. 解：原式＝＋＝ ＝＝＝4. 【规律方法】 给角求值问题的两类解法 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 训练1　求下列各式的值： （1）cos 75°cos 15°； 解：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. （2）cos4－sin4； 解：原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos2－sin2＝cos＝. （3）. 解：原式＝＝·＝·tan 45°＝. 知识点二｜给值求值 【例2】　已知cos（α＋）＝，≤α＜，求cos（2α＋）的值. 解：∵≤α＜， ∴≤α＋＜. ∵cos（α＋）＞0， ∴＜α＋＜. ∴sin（α＋）＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝sin（2α＋）＝2sin（α＋）cos（α＋）＝2×（－）×＝－， sin 2α＝－cos（2α＋）＝1－2cos2（α＋）＝1－2×（）2＝. ∴cos（2α＋）＝cos 2α－sin 2α＝×（－－）＝－. 变式　本例条件不变，求的值. 解：原式＝＝（cos α－sin α）＝2cos（α＋）＝. 【规律方法】 解决给值求值问题的方法 解给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，即： （1）有目标地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 训练2　已知＜α＜π，cos α＝－. （1）求tan 2α的值； 解：因为cos α＝－， 可得sin2α＝1－cos2α＝， 又因为＜α＜π， 所以sin α＝， 可得tan α＝＝－， 又由tan 2α＝＝＝. （2）求的值. 解：由cos α＝－且＜α＜π， 由（1）知sin α＝，tan 2α＝， 所以＝＝＝. 知识点三｜化简与证明 【例3】　（1）化简：； 解：原式＝ ＝ ＝＝＝2. （2）证明：（1＋tan α）2＝. 证明：左边＝（1＋tan α）2 ＝（1＋）2 ... ...