2.5.2　圆与圆的位置关系

2.5.2　圆与圆的位置关系 课标要求 1.了解圆与圆的位置关系（直观想象）. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法（逻辑推理、数学运算）. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题（数学运算）. 情境导入 　　前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，能否定量计算研究圆与圆的位置关系？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一｜圆与圆的位置关系的判断 问题1　如图为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程. 根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 提示：有三种，分别为相交、相切（含外切与内切）和相离（含外离与内含）. 【知识梳理】 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示 外离 0 d＞　r1＋r2　 内含 d＜　｜r1－r2｜　 相交 2 　｜r1－r2｜　＜d＜　r1＋r2　 位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示 内切 1 d＝　｜r1－r2｜　 外切 d＝　r1＋r2　 　　提醒：（1）判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系；（2）两圆外离时有四条公切线，两圆外切时有三条公切线，两圆相交时有两条公切线，两圆内切时只有一条公切线，两圆内含时无公切线. 【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16， C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴｜C1C2｜＝＝a. （1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 【规律方法】 判断两圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 训练1　（1）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C. （2）（2025·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是[－1，＋1]. 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1. 知识点二｜两圆相交问题 问题2　将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 提示：两方程相减得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0（*），它代表两圆的公共弦所在直线方程. 理由：设A（x1，y1），B（x2，y2）为两圆交点，则A，B坐标满足（*）式，那它 ... ...