2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）. 2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 知识点一｜两条直线平行的判定 问题1　（1）我们知道，在平面几何中两条直线有两种位置关系相交和平行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率满足什么关系？ （2）当两条直线l1与l2斜率相等时，这两条直线平行吗？ （3）若直线的斜率不存在，则l1与l2有什么位置关系？ 【知识梳理】 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 　　　　. 　　提醒：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；（3）l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. 【例1】　判断下列直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q（0，5）； （2）l1经过点E（0，1），斜率为，l2经过点F（3，4），G（2，3）； （3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H（2，3）. 【规律方法】 判断两条不重合直线是否平行的步骤 　　提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等. 训练1　（1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝　　　　； （2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形. 知识点二｜两条直线垂直的判定 问题2　（1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，其斜率有什么关系？ （2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？其斜率存在吗？ 【知识梳理】 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　　　　；反之，如果两条直线的斜率之积等于　　　　，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 　　　　　　. 　　提醒：（1）l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在；（2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. 【例2】　根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直： （1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D（4，0）； （2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H（－1，4）； （3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1，），N（2，0）； （4）l1经过点P（2， －1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，1）. 【规律方法】 判断两直线是否垂直的策略 在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 训练2　（1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 （2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值. 提能点｜两条直线平行与垂直的综合应用 【例3】　（2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状. 【规律方法】 利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤 训练3　（2025·福州月考）已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）. （1）求点D的坐标； （2）试判断 ABCD是否为菱形？ 1.判断正误.（正确的画“√ ... ...