2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.3　点到直线的距离公式 课标要求 1.经历用坐标法、几何法以及向量法推导点到直线的距离公式的过程（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（数学运算、直观想象）. 知识点一｜点到直线的距离公式 问题　（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？ （2）向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P（x0，y0）到直线l的距离呢？ 【知识梳理】 1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　　　　. 2.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝　　　　　. 　　提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解. 【例1】　（链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（　　） A.5，1 B.1，1 C.5，3 D.3，1 【规律方法】 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. 训练1　（1）原点到直线y＝x＋的距离为　　　； （2）已知直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则点Q（2，－3）到l的距离为　　　. 知识点二｜点到直线距离公式的简单应用 【例2】　（1）（2025·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为　　　　； （2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为　　　　. 【规律方法】 1.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. 2.根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程. 训练2　（1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为　　　　； （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S＝　　　　. 提能点｜点到直线距离的最值问题 【例3】　（1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（　　） A.2 B. C. D. （2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m＝　　　　. 【规律方法】 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离. 2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要. 训练3　（1）（2025·韶关月考）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则｜OP｜最小时点P的坐标为　　　　； （2）已知直线l： （3m＋2）x＋（2m＋1）y＝m＋2，则点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围为　　　　. 1.点A（0，－4）到直线y＝2－x的距离为（　　） A.1　　　B.2 C.3　　　D.4 2.到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是（　　） A.x－y＝0 B.x＋y＝0 C.｜x｜－y＝0 D.｜x｜－｜y｜＝0 3.若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝　　　. 4.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）点到直线的距离公式； （2）点到直线距离公式的简单应用； （3）点到直线距离的最值问题. 2.应体会 （1）应用点到直线的距离公 ... ...