2.4.1　圆的标准方程

2.4.1　圆的标准方程 课标要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）. 知识点一｜圆的标准方程 问题1　（1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ （2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 【知识梳理】 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 　　提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上. 【例1】　（1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3的叙述正确的是（　　） A.圆心坐标为（1，－2），半径r＝ B.圆心坐标为（－1，2），半径r＝3 C.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3 D.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝ （2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　　　　. 【规律方法】 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等. 训练1　（2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程： （1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）； （2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）. 知识点二｜点与圆的位置关系 问题2　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？ 【知识梳理】 点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断 M在圆上 ｜CM｜　　r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 　r2 M在圆内 ｜CM｜　　r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 【例2】　（1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是（　　） A.（－1，0） B.（0，－1） C.（－1，1） D.（－1，3） （2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为　　　　. 变式　若本例（2）变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范围为　　　　. 【规律方法】 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 训练2　（1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，5）（　　） A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 （2）（链接教材P83例1）已知圆心为A（2，－3），半径为r，点M（－1，1），若点M在圆上，则圆的周长为　　　　；若点M在圆内，则圆的周长的范围是　　　　. 提能点｜求圆的标准方程 【例3】　求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 【规律方法】 求圆的标准方程的两种方法 （1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程； （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 训练3　（1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是　　　　； （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），则该三角形的外接圆的方程为　　　　. 1.已知原点O（0，0），A（－6，8），则以OA为直径的圆的标准方程 ... ...