2.5.1第一课时　直线与圆的位置关系

第一课时　直线与圆的位置关系 课标要求 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离（直观想象）. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系（逻辑推理）. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题（数学运算）. 情境导入　 �———�大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，日落的过程也体现了直线与圆的位置关系. 知识点一｜直线与圆的位置关系的判断 问题1　（1）在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 提示：初中时，我们根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系，具体情形如下：①直线与圆相交 d＜r；②直线与圆相切 d＝r；③直线与圆相离 d＞r. （2）类比用方程研究两条直线位置关系的方法，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示：转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 【知识梳理】 直线Ax＋By＋C＝0与圆：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　2　个 　1　个 　0　个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d　＝　r d　＞　r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ　＞　0 Δ　＝　0 Δ　＜　0 图示 【例1】已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当实数b为何值时，直线与圆： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：法一　圆心O（0，0）到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，圆的半径r＝. （1）当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 法二　由方程组消去y，得2x2＋2bx＋b2－2＝0， Δ＝4b2－8（b2－2）＝－4b2＋16. （1）当Δ＞0，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当Δ＝0，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 【规律方法】 判断直线与圆的位置关系的方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 训练1　（1）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　A　） A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 解析：将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交. （2）直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　B　） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析：圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B. 知识点二｜圆的弦长问题 问题2　（1）当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？ 提示：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有（）2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2. （2）当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？ 提示：设直线斜率为k，方程y＝kx＋b， ｜AB｜＝ ＝ ＝｜x1－x2｜ ＝， 同理｜AB｜＝. 【例2】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长. 解：法一（几何法）　如图， O为坐标原点，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB，又｜OM｜＝＝， 所以｜AB｜＝2｜AM｜＝2＝2＝2. 法二（代数法）　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为（－，1），（0，2）， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 法三 ... ...