3.2.1第一课时　双曲线及其标准方程（一）

第一课时　双曲线及其标准方程（一） 课标要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.掌握双曲线的标准方程及其求法（数学运算）. 情境导入 　　双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度.我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！ 知识点一｜双曲线的定义 问题1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么条件？ 提示：双曲线.曲线上的点满足条件：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝常数，且常数小于｜F1F2｜. 【知识梳理】 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线. 2.符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝　2a　（常数），且0＜2a＜｜F1F2｜. 3.焦点：两个定点　F1，F2　. 4.焦距：　两焦点间　的距离，表示为｜F1F2｜. 　　提醒：（1）常数要小于两个定点的距离；（2）如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支；（3）当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（4）当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（5）当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 【例1】已知点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，当a＝0和3时，点P的轨迹分别为（　　） A.一条射线、双曲线 B.一条射线、双曲线一支 C.线段F1F2的垂直平分线、双曲线 D.线段F1F2的垂直平分线、双曲线一支 解析：D　由题意得｜F1F2｜＝10，当a＝0时，｜PF1｜＝｜PF2｜，故点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线；当a＝3时，2a＝6＜｜F1F2｜，故点P的轨迹为双曲线的一支.故选D. 【规律方法】 　双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支. 训练1　（1）已知F1（－8，3），F2（2，3），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则P点的轨迹是（　D　） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析：F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线. （2）平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（　D　） A.（－4，＋∞） B.（4，＋∞） C.（－4，4） D.（－4，0）∪（0，4） 解析：由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪（0，4）. 知识点二｜双曲线的标准方程 问题2　（1）类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，才能使得到的双曲线方程更简单？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，得到的双曲线方程最简单. （2）设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，c＞0.试根据上面所建立的坐标系，推导双曲线的标准方程. 提示：设F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），P（x，y）是双曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a（a为大于0的常数）， 因为｜PF1｜＝， ｜PF2｜＝， 所以－ ＝±2a，　① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①得（c2－a2）·x2－a2y2＝a2（c2－a2），两边同除以a2（c2－a2），得－＝1. 由双曲线 ... ...