1.4.2第二课时　用空间向量研究夹角问题

第二课时　用空间向量研究夹角问题 课标要求 1.会用向量法求线线角、线面角、面面角（数学运算）. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系（逻辑推理）. 情境导入 　　在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.这些角能否借助直线的方向向量、平面的法向量来求解呢？今天我们就来研究这个问题. 知识点一｜两异面直线所成的角 问题1　（1）两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？ 提示：cos＜a，b＞＝. （2）异面直线l1，l2所成的角与它们的方向向量u和v的夹角之间有什么关系？ 提示：相等或互补. （3）能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？ 提示：可以.可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决. 【知识梳理】 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝　｜｜　＝　　. 【例1】（链接教材P36例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角. 解：法一　由题意知｜｜＝，｜｜＝，＝＋，＝＋＋. 因为PA⊥平面ABCD，所以·＝·＝·＝0， 因为AB⊥AD，所以·＝0， 因为AB⊥BC，所以·＝0， 所以·＝（＋）·（＋＋）＝＝1. 所以cos＜，＞＝＝＝， 所以＜，＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 法二　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以＝（－1，0，1），＝（1，－1，0）， cos＜，＞＝＝＝－. 所以＜，＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 【规律方法】 求异面直线所成的角的方法 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos θ＝，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算； （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单. 训练1　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则异面直线BA1和AC所成角的大小为60°. 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），所以＝（0，－a，a），＝（－a，a，0）.所以cos＜，＞＝＝＝－，所以＜，＞＝120°.又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°. 知识点二｜直线与平面所成的角 问题2　如图，直线AB与平面α相交于点B，AC垂直于平面α，直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，你认为θ与＜u，n＞之间有什么关系？ 提示：sin θ＝｜cos ＜u，n＞｜. 【知识梳理】 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝　｜｜　＝　　. 　　提醒：（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是［0，］；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ＝－＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－. 【例2】如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点.求直线BE与平面EAC所成角的正弦值. 解：连接MC，因为EA＝EB，M是AB的中点，所以EM⊥AB， 因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM 平面ABE， 所以EM⊥平面ABCD，又CM 平面ABCD， 所以EM⊥CM， 在菱形ABCD中，因为∠ABC＝60°， 所以△ABC是正三角形， 所 ... ...