1.4.2第一课时　用空间向量研究距离问题

第一课时　用空间向量研究距离问题 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题（数学抽象、数学运算）. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算、直观想象）. 知识点一｜点到直线的距离 问题1　（1）回忆一下，在平面中，若直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何求点P到直线l的距离？ （2）如果问题（1）中的点和直线是空间点和直线，上述距离公式还成立吗？ 【知识梳理】 点到直线的距离：如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝　　　　＝　　　　. 　　提醒：如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解. 【例1】　（链接教材P34例6（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2 B.2 C. D.4 【规律方法】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的单位方向向量u； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； （4）利用公式d＝计算点到直线的距离. 训练1　（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝2，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为　　　　　； （2）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线FC1到直线AE的距离为　　　　. 知识点二｜点到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 【知识梳理】 点到平面的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝　　　　＝｜｜＝　　　　. 【例2】　如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. （1）求｜｜； （2）求点C到平面AEC1F的距离. 【规律方法】 用向量法求点面距的步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标（，平面α的法向量n）； （4）求距离d＝. 训练2　如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.则点A到平面MBC的距离为　　　　. 知识点三｜直线、平面到平面的距离 问题3　类比求平面内两条平行直线间距离的方法，你认为如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ 【知识梳理】 1.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为　　　　的距离求解. 2.如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为　　　　　　的距离求解. 　　提醒：只有线面（面面）平行时，才有线面（面面）距. 【例3】　（链接教材P34例6（2））如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离. 【规律方法】 求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一点，然后转化为求点到平面的距离，且这个点要适当选取，以求解最简便为准则. 训练3　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. （1）求证：B1D⊥平面ABD； （2）求证：平面EGF∥平面ABD ... ...