空间几何体的外接球与内切球 一、有关定义 1.球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面, 简称球。 2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个多面体的外接球。 3.内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球。 二、外接球的有关知识与方法 1.性质: 性质 1: 过球心的平面截球面所得圆是大圆, 大圆的半径与球的半径相等; 性质 2: 经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心, 该平面截球所得圆是大圆; 性质 3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理)； 性质 4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质 5:在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心(类比: 在同圆中, 两相交弦的中垂线交点是圆心). 初图1 初图2 2.结论: 结论 1: 长方体的外接球的球心在体对角线的交点处, 即长方体的体对角线的中点是球心; 结论 2: 若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点, 则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论 3: 长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论 4: 圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处; 结论 5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径; 结论 6: 直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球; 结论 7: 圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上; 结论 8: 圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆, 该三角形的外接圆直径是球的直径; 结论 9: 侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3.终极利器:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度)； 三、内切球的有关知识与方法 1.若球与平面相切, 则切点与球心连线与切面垂直。(与直线切圆的结论有一致性) 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等, 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。(类比: 与多边形的内切圆) 3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。 4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上, 但不一定重合。 5.基本方法: (1)构造三角形利用相似比和勾股定理; (2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法). 四、八大模型 类型一、墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径) 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 方法: 找三条两两垂直的线段,直接用公式 ,即 ,求出 例 1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 解: ,选 C; (2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 (3)题-1(引理) 解: ; (3)在正三棱锥 中， 、 分别是棱 、 的中点,且 ,若侧棱 ,则正三棱锥 外接球的表面积是_____. 解: 引理: 正三棱锥的对棱互相垂直. 证明如下: 如 图(3)-1,取 的中点 ,连接 交于 ,连接 ,则 是底面正三角形 的中心, 平面 , 平面 , ，同理: ， ，即正三棱锥的对棱互垂直， (3)题-2 (解答图) 本题图如图(3)-2, ， 平面 ， , 平面 ， ， 故三棱锥 的三棱条侧棱两两互相垂直， ,即 正三棱锥 外接球的表面积是 . (4)在四面体 中， 平面 ，则该四面体的外接球的表面积为 B. C. D. 解: 在 中, 的 外 接 球 直 径 为 , ，选 D (5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3，那么它的外接球的表面积是_____ 解: 由已知得三条侧棱两两垂直,设三条侧棱长分别为 ,则 , (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1 的 ... ...
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