极化恒等式及最值范围问题 (1)概念:设 、 是两个平面向量，则有恒等式: 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加减法 记 则 设 ,则: 实数与向量的乘积 记 ,则 向量数量积 记 ,则 向量夹角 设 ,则: 向量模长 (2)几何意义:向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 . (3)空间几何与极化恒等式:在矩形 中，若对角线 和 交于点 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系: ① ； ② . (1) 三点共线 . 证明方法: 坐标方法: 设 三点共线,则: , (2)定理应用:平面上 三点不共线， 在直线 上，且 ，令 ，则有 . 其表达意思就是从一个顶点 引出三个向量,且它们共线,每一个向量 分别乘它对面的比值. 平面内一组基底 及任一向量 ， 若点 在直线 上或平行于 的直线上,则 (定值),反之也成立, 把直线 以及与直线 平行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线 时， ； ② 当等和线在 点和直线 之间时， ； ③ 当直线 在 点和等和线之间时， ； ④ 当等和线过 点时, ; (1)重心: ①概念:三角形三条边中线的交点. ②重心向量表达: 为 的重心 . ③重心的性质: 1) 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1. 2) 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等. 3) 中 ,重心的坐标是 (2)内心: ①概念:三角形内切圆圆心. 三内角角平分线交点. ②内心向量表达: 为 的内心 . ③内心的性质: 1) 内心到三角形边的距离相等 2) 三角形面积与内切圆半径关系: (3)外心: ①概念:三角形外接圆圆心. 三条边垂直平分线交点. ②外心向量表达: 为 的外心 . ③外心的性质: 1) 外心到三角形三顶点的距离相等 2) 三角形面积与外接圆半径关系: 1.极化恒等式: . 几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 与 “差对角线” 平方差的 . 2. 平行四边形 是对角线交点. 则: (1) (平行四边形模式)；(2) (三角形模式). 3. 平面向量中的最值(范围)问题 (1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围). 题型一 极化恒等式的应用 【例 1】(1)在 中， 是 的中点， ，则 ____ (2)已知正三角形 内接于半径为 2 的圆 ,点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是_____. 【训练 1】(1)已知正方形 的边长为 1，点 是 边上的动点， 则 的值为_____. (2)若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 题型二 平面向量中的最值(范围)问题 类型 1 利用函数型 【例 2-1】(1)设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1，则() A. 若 确定，则 唯一确定 B. 若 确定，则 唯一确定 C. 若 确定，则 唯一确定 D. 若 确定，则 唯一确定 (2)已知 是两个非零向量，且 ，则 的最大值为( ) A. B. C. 4 D. 5 【训练 2-1】( 1 ) 已知向量 满足 ，则 的最小值是_____，最大值是_____. (2)如图，在边长为 1 的正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心， 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点， 则 的取值范围是_____；若向量 ，则 的最小值为_____. 类型 2 利用不等式型 【例 2-2】(1)已知边长为 1 的正方形 分别是边 上的两个动点, ，若 ，则 的最小值为_____. (2)(一题多解)已知平面向量 满足 ，则 的最小值为( ) A. B. 2 C. D. (3) 已知向量 . 若对任意单位向量 ， 均有 ，则 的最大值是_____. 【训练 2-2】(1)若非零向量 满足 ，则 的最小值为_____. (2) 已知向量 满足 ， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. (3) 已知平面向量 满足: ， ，则 的最小值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 类型 3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型 【例 2-3】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1， 正六边形的顶点称为 “晶格点”. 若 四点均位 ... ...
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