(
课件网) 专题20 离散型随机变量及其分布列 导言 离散型随机变量及其分布列是高考的一个常考题型，主要是赛制类问题，通常以选择题、填空题、解答题形式考查，会求随机变量的分布列与数学期望，能解决一些简单的实际问题．这需要大家引起重视，对于概率难题要适当地练习． 1 [人教A版选必三P61习题7.2T4改编]某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的概率分布如下： 【解析】 若射手射击一次的成绩为优秀，则他射中的环数为9环或10环，其概率为P＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.35＋0.20＝0.55. X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是_____. 0.55 2 [人教A版选必三P67练习T2改编]抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为_____. 0 3 [人教A版选必三P69例5改编]抛掷一枚质地均匀的骰子，则掷出的 点数X的方差为_____. 4 [人教A版选必三P71习题7.3 T6改编]有A和B两道谜语，小张猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由小张选择，他应该选择先猜谜语_____.(填“A”或“B”) 【解析】 如果他先猜谜A，那么他将有0.2的概率得0元，有0.8×(1－0.5)＝0.4的概率得10元，有0.8×0.5＝0.4的概率得30元，此时他的奖金期望是0×0.2＋10×0.4＋30×0.4＝16；同理可得如果他先猜谜B，那么他的奖金期望是0×0.5＋20×0.5×(1－0.8)＋30×0.5×0.8＝14.因为16>14，所以他最好先猜谜语A. A 要点指引 (1) 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： 上表称为离散型随机变量X的概率分布表．也可用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的概率分布列，简称X的分布列，两者都叫作随机变量X的概率分布． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (2) E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平． 重点1 随机变量及其分布列 [2025北京卷T18]有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． (1) 从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望； 1 (3) 若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)． 思路引导：本题考查用频率估计概率，随机变量的概率分布及其数学期望，方程思想以及数据分析、数学建模的核心素养. (1) 用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率； (2) 利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的概率分布，从而可求其期望；(3)根据题设可得关于p1，p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系． 本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均为概率的应用问题，解答实际问题时，(1) 把实际问题概率模型化；(2) 利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3) 利用公式求出相应均值．写出分布列后，可以根据分布列的性质判断所得分布列结果是否正确． 变式训练 [2025保定模拟]将一颗质地均匀、四个面上分别标有复数1，－1，i，－i(i为虚数单位)的正四面体玩具 ... ...
