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课件网) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课标定位 素养阐释 1.理解基底的含义,并能判断两个向量是否构成基底. 2.理解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示平面向量. 3.提升数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 平面向量基本定理 1.如图,在物理中,已知两个力可以求出它们的合力;反过来,一个力也可以分解为两个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1,e2,能否将向量a按e1,e2的方向分解 如果能,分解方法唯一吗 提示:当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能按e1,e2的方向分解,当非零向量e1,e2不共线时,任意向量a一定可以按e1,e2的方向分解,且分解方法是唯一的. 2.平面向量基本定理 3.(1)已知向量e1,e2不共线,则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A.e1-e2与e2-e1 C.-e1-2e2与2e1+4e2 D.e1-2e2与2e1-e2 (2)下列说法正确的是( ) A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示 B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示 C.零向量可以作为基底中的向量 D.平面内的基底是不唯一的 解析:(1)根据基底的定义,只要两向量不共线便可作为基底,易知选D. (2)根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.故选D. 答案:(1)D (2)D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)只有非零向量才能用平面内的一个基底e1,e2线性表示. ( × ) (2)同一向量用两个不同的基底表示时,表示方法是相同的. ( × ) (3)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ ) (4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可用这个基底唯一表示.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 基底的概念 【例1】 (1)(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能作为基底的是( ) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 (2)已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且{a,b}是一个基底,则实数λ的取值范围是 . 解析:(1)B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2), ∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2), 故3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底. A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底. 对基底的理解: (1)两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底. (2)一个平面的基底一旦确定,平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则 提醒:一个平面的基底不是唯一的;同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样. 【变式训练1】 (1)(多选题)设O是 ABCD的对角线交点,下列四组向量,可作为这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是( ) (2)已知{a,b}是一个基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b= 6a+3b,则x-y的值为 . 答案:(1)AC (2)3 探究二 用基底表示向量 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 探究三 平面向量基本定理与数量积的综合应用 【例3】 在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 答案:C 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选 ... ...
