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课件网) 6.3.4 平面向量数乘运算 的坐标表示 课标定位 素养阐释 1.会用坐标表示平面向量的数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 3.提升直观想象和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、平面向量数乘运算的坐标表示 1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗 提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y); 3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y). 2.已知a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. A.(-3,-3) B.(-6,3) C.(3,-6) D.(-4,-1) 答案:C 二、平面向量共线的坐标表示 1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数λ,使a=λb,那么根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗 提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且a与b共线,则x1y2=x2y1. 2.平面向量共线的坐标表示 3.(1)下列各组向量中,共线的是( ) A.a=(1,2),b=(4,2) B.a=(1,0),b=(0,2) C.a=(0,-2),b=(0,2) D.a=(-3,2),b=(-6,-4) (2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x= . 解析:(1)C选项中,因为b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线; (2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6. 答案:(1)C (2)-6 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若a=(1,-2),则2a=(2,-2).( × ) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2≠x2y1,则a与b不共线.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 平面向量线性运算的坐标表示 【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b, 分析:直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求解. 解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6), 所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10), 平面向量坐标运算的方法: (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 探究二 平面向量共线的坐标表示 【例2】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向 分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向. 本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行 ”,又如何求k的值 解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k), 3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4), ∵a+kb与3a-b平行, ∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0, 根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(λ∈R,b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解,其中a=(x1,y1), b=(x2,y2)(b≠0). 探究三 判定直线平行、三点共线 1.三点共线问题的实质是向量共线问题,利用向量共线证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量共线;(2)证明两个向量有公共点. 2.A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线. 【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB, AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明: (1)DE∥BC; (2)D,M,B三点共线. 证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 由题意得四边形AECD是边长为1的正方形, 可得各点坐标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). 思 想 方 法 【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标. 审题视角:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三点共线;(2)先根据O,P,B三点 ... ...
