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课件网) 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课标定位 素养阐释 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 3.掌握利用向量方法解决平面几何问题的一般步骤. 4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、用向量方法解决平面几何问题 1.想一想:向量可以解决哪些常见的平面几何问题 提示:(1)解决有关夹角、长度等的计算或度量问题;(2)解决直线平行、垂直、三点共线、三线共点等位置关系的判断与证明问题. 2.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 3.平面几何问题与平面向量之间的对应关系: 4.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 5.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是 , . 二、向量在物理中的应用 1.物理中的动量mv,功F·s是向量中的什么运算 提示:因为m是标量,v是矢量,所以mv为数乘运算;因为F和s均为矢量,所以F·s为数量积运算. 2.(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是 向量. (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算. 3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题; ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 4.(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于( ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) (2)已知速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是( ) A.2 m/s B.10 m/s C.12 m/s D. 解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0, 故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2). (2)∵|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2 =100+2×10×12cos 60°+144=364, 答案:(1)D (2)D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (4)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减运算.( √ ) (5)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 平面向量在几何证明中的应用 【例1】 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 证法二:如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2, 则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), 用向量证明平面几何问题的两种基本方法 (1)基向量法: 步骤为:①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把计算所得结果转化为几何问题. (2)坐标法: 步骤为:①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④利用向量关系回答几何问题. 探究二 平面向量在几何求值中的应用 【例2】 (1)已知边长为2的正六边形ABCDEF,连接BE,CE,点G是线段BE上靠近点B的四等分点,连接GF,则 等于( ) A.-6 B.-9 C.6 D.9 (方法二)以点F为原点,线段EF所在的直 ... ...
