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课件网) 7.3.1 离散型随机变量的均值 第七章 2026 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会求离散型随机变量的均值. 2.掌握两点分布的均值. 3.能够利用离散型随机变量的均值,解决一些相关问题. 4.通过本节课学习,培养利用数学模型分析、解决实际问题的能力. 自主预习 新知导学 离散型随机变量的均值 1.有12个西瓜,已知其中重5 kg的有4个,重6 kg的有3个,重7 kg的有5个. (1)任取1个西瓜,用X(单位:kg)表示这个西瓜的重量,试想X的可能取值有哪些 (2)X取上述值时对应的概率分别是多少 (3)如何求这些西瓜的平均重量 2.(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. (2)一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. (3)一般地,下面的结论成立: E(aX+b)=aE(X)+b . 3.(1)已知Y的分布列为 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 (2)由已知得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16. 答案:(1)D (2)A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平.( × ) (3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 两点分布的均值 【例1】 某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的均值. 解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表: 因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6. X 0 1 P 0.4 0.6 1.两点分布的特点: (1)一次试验的结果要么发生要么不发生. (2)随机变量的取值为0,1. (3)试验次数一般只有一次试验. 2.如果随机变量X服从两点分布,那么随机变量X的均值E(X)=p. 熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度. 【变式训练1】 在两点分布中,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则E(X)= . 解析:因为P(X=1)+P(X=0)=1, 又因为P(X=1)-P(X=0)=0.2, 解得P(X=1)=0.6, 所以E(X)=0.6. 答案:0.6 探究二 离散型随机变量均值公式及性质 【例2】 已知随机变量X的分布列如下表: (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y). 与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数.一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键先由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y). 【变式训练2】 已知随机变量X的分布列如下表: 答案:B 探究三 离散型随机变量的均值 【例3】 某汽车4S店在一次汽车促销活动中,让每位参与者从盒子中任取一个由0~9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字).若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除,则可以享受5万元的优惠;若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除,则可以享受3万元的优惠;其他结果享受1万元的优惠. (1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”; (2)若小明参加了这次汽车促销活动,求他得到的优惠金额X(单位:万元)的分布列及均值E(X). 解:(1)个位数字为4的“三位递减数”有984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10个. (2)由题意知,不同的“三位递减数”共有 =120(个). 小明得到的优惠金额X的可能取值为5,3,1. 当X=5时,三个数字之和可能为20,10,当三个数字之和为20时,有983,974,965,875,共4个“三位递 ... ...
