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课件网) 第五章 四边形 课标要求 ①理解菱形的概念. ②探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂 直的平行四边形是菱形. 命题点3 菱形的性质与判定(必考) 要点归纳 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2. 菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形 的所有性质外还具有以下性质： (1)菱形的四条边 ； (2)菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线平分一组对角； (3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在 的直线，对称中心是 ； (4)菱形的面积等于边长×该边上的高或两条对角线之 的一半. 相等 垂直 两条对角线的交点 积 3. 菱形的判定 (1)定义：有一组邻边 的平行四边形是菱形； (2)四条边都 的四边形是菱形； (3)对角线 的平行四边形是菱形. 相等 相等 互相垂直 4. 利用菱形的性质进行相关证明及计算时还应掌握以下知识 (1)两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形； (2)任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形； (3)如果菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角线将 菱形分成两个全等的等边三角形； (4)连接一边的中点与两条对角线交点可构成直角三角形斜边上的中线或 三角形的中位线. 5. 平行四边形中作菱形的五种方法 方法一：如图1，连接BD，作BD的垂直平分线PQ，与AD，BC分别 交于点E，F，连接BE，DF，则四边形BFDE为菱形. 方法二：如图2，分别作∠ABC的平分线BP，∠BAD的平分线AQ，与 AD，BC分别交于点F，E，连接EF，则四边形ABEF为菱形. 方法三：如图3，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AD交于点F， 以点B为圆心，BA长为半径画弧，与BC交于点E，连接EF，则四边 形ABEF为菱形. 方法四：如图4，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，再 分别以A，E为圆心，大于 AE长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP 并延长交AD于点F，再连接EF，则四边形ABEF 为菱形. 方法五：如图5，连接AC，作∠EAC＝∠DAC，∠FCA＝∠BCA，则 四边形AECF为菱形. 6. 两个矩形纸片的重叠问题 图形 结论 不等宽的两个矩形纸片重叠(不 垂直)，重叠部分一定是平行四 边形，∵h1≠h2，∴一定不是 菱形 等宽的两个矩形纸片重叠(不垂 直)，∵h1＝h2，∴重叠部分一 定是菱形 命题点3 菱形的性质与判定(必考) 随堂检测 1. (2023丽水)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC 的长为( D ) A. B. 1 C. D. D 2. (2024邯郸二模)已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如 图.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“ ———， ∴四边形ABCD是菱形. 在以上证明过程中，“ ———可以表示的是( C ) C A. ∠A＝∠C B. AD∥BC C. AB＝BC D. AB∥DC 3. (2024山东德州中考)如图， ABCD中，对角线AC平分∠BAD. (1)求证： ABCD是菱形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC. ∴∠DAC＝∠ACD. ∴AD＝CD. ∴四边形ABCD是菱形. (2)若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长.(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) （2）解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形.AC＝8，∠DCB＝74°， ∴∠COB＝90°，OA＝OC＝ AC＝4， ∴∠ACB＝ ∠DCB＝37°， ∴BC＝ ＝ ≈ ＝5， 即菱形ABCD的边长为5. 4. (2025山西中考)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD ＞BD. 沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平 行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E， ... ...
