中小学教育资源及组卷应用平台 17.4一元二次方程根与系数的关系教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17 课题 17.4一元二次方程根与系数的关系 课时 1 教材分析 一元二次方程根与系数的关系是在学生掌握方程解法与判别式后的拓展内容，是方程理论的重要组成部分。它深化了根与系数的内在联系，为后续二次函数、方程构造等知识奠基，教学重点是定理推导，难点在于灵活运用其解决代数式求值、方程构造等问题 学情分析 九年级学生已掌握一元二次方程解法，具备一定推理能力，但抽象思维仍待提升。他们对直观、具象知识接受度高，对根与系数的抽象关系理解存在难度，需借助具体方程实例引导，通过从特殊到一般的探究过程，帮助其理解定理内涵。 核心素养目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系 2. 准确表述一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，并能用数学符号表示 3. 应用根与系数的关系解决有关问题. 教学重点 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系 教学难点 应用根与系数的关系解决有关问题 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1.一元二次方程的求根公式： x＝. 2.利用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况： 当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac<0时，方程没有实数根. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识 二、引新 创设情境，引入课题 在前面的学习中，我们掌握了求根公式解方程的方法，而求根公式其实正是体现根与 系数之间的关系.那么对于一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ (1)求根公式： (2)系数 a，b，c决定根的值，同时也体现了根与系数的关系 本节课我们将从另一个角度除法，研究根与系数的关系 学生思考问题 通过问题，自然引入课题 三、探究 合作探究，活动领悟 思考： 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为： x1=，x2=. 观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2) x1x2. x1x2. 由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系： 如果()的两个根为x1，x2，那么 x1x2，x1x2 归纳 由此可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为x1，x2， 那么x1+x2=，x1x2= 这就是根与系数的关系，通常称为 韦达定理. 注意： ① 利用韦达定理的前提条件是方程要有实数根，即 =b2-4ac≥0 ② 利用韦达定理时，要先把一元二次方程化为一般形式. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生从已有知识出发，通过观察、归纳、推理自主发现数学规律，实现由特殊到一般的思维跃迁 四、变式 师生互动，变式深化 例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值. 解：设方程的另一个根是，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为，的值为7. 想一想：本题还有别的解法吗？ 解： 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7代入方程，得2x2 + 7x – 4 = 0， 解得 答：方程的另一个根为 ，k的值为7. 例2方程的两个根记作，求的值. 解：由韦达定理，得. () () 4 ×. 所以. 方法点拨：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入求值. 拓展： 如果()的两个根为 那么(1) (2)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (3)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (4)+ = ； (5)+ = 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于 ... ...
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