向量的数乘运算 向量的数量积 讲义 解析版

向量的数乘运算 向量的数量积 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，可求. 【详解】由，有，即， 则，所以. 故选：B 题型二：平面向量的混合运算 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列未知向. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量数乘运算求解. 【详解】（1）由得， 所以. （2）由得， 所以. （3）由得， 所以. 6．（22-23高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 8．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石 ... ...