6.2.3 向量的数乘运算 课后训练巩固提升 A组 1等于( ) A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 解析:原式=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b=2b-a. 答案:B 2.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则( ) A=2 B=4 C=2 D=4 解析:由已知得=2,因为=4,所以=2 答案:A 3.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则( ) A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线 解析:因为=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以 又有公共点B,所以A,B,D三点共线. 答案:D 4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于 ( ) A B C D 解析:=-= 答案:A 5.(多选题)下列说法正确的是( ) A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 解析:根据数乘运算的运算律及性质,知选项AB正确;C中,若ma=mb,则a=b或m=0,故C错误;D中,若ma=na,则m=n或a=0,故D错误. 答案:AB 6.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是 . 解析:∵a=λb, ∴|a|=|λ||b|, ∴|λ|=,∴λ=± 答案:± 7.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为 . 解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b]. 又因为向量a,b是两个不共线的向量, 所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3. 答案:-1或3 8. 在 ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,求(用a,b表示). 解法一:如图所示,在 ABCD中,设AC交BD于点O,则点O平分AC和BD. , ∴N为OC的中点. 又M为BC的中点,∴MN=BO, (b-a). 解法二:)=(a+b)-a=(b-a). 9.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,证明这个四边形为梯形. 证明:=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b), =2,共线,且||=2||. 所在直线不重合, ∴AD∥BC,且AD=2BC. ∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形. 二、B组 1.已知点P满足向量=2,则点P与AB的位置关系是( ) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在直线AB外 解析:=2,, , ∴点P在线段AB的反向延长线上,故应选C. 答案:C 2.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若=a,=b,则等于( ) Aa+b Ba+b C.a+b D.a+b 解析:由题意得BE=3DE,DF∥AB,所以DF=AB,所以a+b. 答案:A 3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+,则λ等于( ) A B.- C D 解析:由题意知, , )=,∴λ= 答案:A 4.已知点P是△ABC内的一点,),则△ABC的面积与△PBC的面积之比为( ) A.2 B.3 C D.6 解析:设BC的中点为D,则=2 )=, 如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点P作PF⊥BC,交BC于点F, 则, =3. 答案:B 5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是 . 解析:由已知得=-, 因此,且||≠||, 所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||, 所以四边形ABCD是等腰梯形. 答案:等腰梯形 6.若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则= (用表示). 解析:=t, =t(), +t-t=(1-t)+t 答案:(1-t)+t 7.设a,b是两个不共线的非零向量,如果=a,=tb(t∈R),(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线 解:=a,=tb,(a+b), =tb-a, (a+b)-a=b-a. ∵A,B,C三点共线, ∴存在实数λ,使=,即tb-a=λ(b-a). ∵a,b不共线,解得 ∴当t=时,A,B,C三点共线. 8.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值. 解:, ∴3=2,即2-2, ∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示. ∵A,M,Q三点共线, ∴设=x+(1-x)+(x-1), , 又,且=t, =t, 解得t= 1 ... ...
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