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课件网) 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 第十一章 立体几何初步 高二下学期数学人教B版必修第四册 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 必备知识解读 02 知识点1 直线与直线所成角 1 异面直线所成的角 如图11.4.1-1所示，, 是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作 与,平行或重合的直线,,则与所成角的大小，称为异面直线与 所成角 （称为异面直线与 的夹角）的大小. 图11.4.1-1 . . 知识剖析 1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即 把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路. 2.习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角 的角的大小. 3.在定义中,空间一点 是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线所成的角 与,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点的位置无关.为了简便，点 常取 在两条异面直线中的一条上. 2 异面直线所成的角的范围 说明 POINT 为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为 . 异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 . （注意区分异面直线所成角的范围与空间两条直线所成角的范围，后者为 ） 3 空间两直线垂直的定义 空间中两条直线,所成角的大小为 时，称与垂直，记作 .显然，若 且,则一定有 . （【注意】空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直） . . 典例详解 例1-1 [教材改编P112 尝试与发现] 在正方体中，求直线 与 所成的角. 【解析】如图11.4.1-3，连接, . 图11.4.1-3 因为,所以直线与所成的角即直线与 所成的角. 又，所以为正三角形，所以直线与 所成的角为 ， 即直线与所成的角为 . 例1-2 已知三条直线两两垂直，则下列说法正确的是( ) C A.这三条直线必共点 B.其中必有两条直线不同在任一平面内 C.三条直线不可能在同一平面内 D.其中必有两条直线在同一平面内 【解析】三条直线两两垂直的情况共有三种： （1）三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内; （2）三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内; （3）三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直 线不在同一平面内. 因此，只有C选项是正确的. 知识点2 直线与平面垂直及其判定定理 1 直线与平面垂直的充要条件 自然语言 图形语言 符号语言 . . 知识剖析 1.定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定 义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直. 2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况. 3.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一 个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这 条直线与这个平面不垂直. 4.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直. . . 2 直线与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直，则这条直 线与这个平面垂直. 简述为若线线垂直，则线面垂直. 知识剖析（1）判定定理中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一 条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化. （2）要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与 已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的. 典例详解 例2-3 [教材改编P118 T2]［多选题］下列命题中正确的是( ) BD A.若直线与平面 内的无数条直线垂直，则 B.过直线上一点可以作无数条直线 ... ...
