2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.2.4.2向量的数量积的运算律（含解析）

6.2.4.2向量的数量积的运算律 一．选择题 1．已知|a|＝1，|b|＝2，向量a，b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．＋1 2．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 3．在平面斜坐标系中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则点P的坐标为(x，y)．若点P在斜坐标系中的坐标为(2，－1)，则||＝(　　) A．＋1 B． C． D．2＋1 4．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．对任意向量a，b，都有a·b＝b·a B．若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c C．对任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c) D．对任意向量a，b，c，都有(a＋b)·c＝a·c＋b·c 5．已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上的动点，则·的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 6．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是 (　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．(多选题)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则(　　) A．a·b＝1 B．a与b的夹角为 C．a⊥(a－2b) D．a－b在b上的投影向量为－b 二．填空题 8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，若(ka－2b)⊥(a＋b)，则k＝_____. 9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则向量a与b的夹角θ的取值范围是_____. 10．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a＋b在向量b上的投影向量是_____. 三．解答题 11．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1＋λe2，且a与b的夹角θ为锐角，求实数λ的取值范围。 12．在△ABC中，M是边BC的中点，AM＝3，BC＝10，求·的值 13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝13. (1)求a与b的夹角； (2)若a在b上的投影向量为c，求c·(a＋b)的值． 6.2.4.2向量的数量积的运算律 一．选择题 1．C　解析：因为|a|＝1，|b|＝2，向量a，b的夹角为，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1×2×＝2.故选C． 2．B　解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0， 即b2＝2a·b.又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝. 故选B． 3．C　解析：由题意得＝2e1－e2， 则2＝(2e1－e2)2＝4e－4e1·e2＋e＝4|e1|2－4|e1|·|e2|cos 60°＋|e2|2 ＝4－4×1×1×＋1＝3，故||＝. 故选C． 4．AD　解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|a|·|b|cos〈a，b〉， 可得a·b＝b·a，故选项A正确； 由a·b＝a·c可得a·(b－c)＝0， 又a≠0，可得b＝c或a⊥(b－c)，故选项B错误； (a·b)c＝|a||b|cos〈a，b〉c＝λc(λ∈R)， a(b·c)＝|c||b|cos〈c，b〉a＝μa(μ∈R)， 所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确． 故选AD． 5．D　解析：设AE＝x，x∈[0，1]，·＝(＋)·＝·＋· ＝||·||cos∠ADC＋||·||cos 0°＝＋x∈， 所以·的最大值为.故选D． 6．C　解析：由题意，得2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，所以·＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形．故选C． 7．BCD　解析：对于A，由|a＋b|＝，得(a＋b)2＝3，即a2＋b2＋2a·b＝3，1＋1＋2a·b＝3， 解得a·b＝，故A错误； 对于B，设a与b的夹角为θ，由上可知a·b＝，即|a|·|b|·cos θ＝，所以cos θ＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故B正确； 对于C，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2×＝0，所以a⊥(a－2b)，故C正确； 对于D，a－b在b上的投影向量为·＝·b＝·b＝－b，故D正确． 故选BCD． 二．填空题 8． 　解析：因为|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝5×4×＝－10. 由(ka－2b)⊥(a＋b)，得(ka－2b)·(a ... ...