3.5 一次函数与二元一次方程的关系 课件(共24张PPT) 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

(课件网) 3.5 一次函数与 二元一次方程的关系 湘教·八年级下册 新课导入 （1）（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. （4，1）与（1，7）都是二元一次方程2x+y－9=0的解，并且这个方程有无数个解，如（-1，11），（0，9），等等. 新课导入 （2）给定一个二元一次方程2x+y－9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ 对于二元一次方程2x+y－9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x+9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y－9=0的形式. 探索新知 （1）一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？ （2）以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗？ （1）如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y－9=0的解. （2）二元一次方程2x+y－9=0的所有解都可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 而任意点（c，-2c+9）都在一次函数y=-2x+9的图象（一条直线）上，如图所示. 于是以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象. 总结归纳 一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx－y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线. 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0），其任意一个解都满足一次函数y= -x- 因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y= -x- 的图象上. 反之，一次函数y= -x- 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解. 总结归纳 由此可知：在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0）表示一条直线，这条直线是一次函数y= -x- 的图象. 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. B（3，4） A（0，2） 解 由-2x+3y-6=0可得一次函数y=x+2， 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出A（0，2）， B（3，4）两点，过这两点作直线，如图 所示，则这条直线是一次函数y= x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. 给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线. 由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx－у+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx－у+b=0表示的直线. 解 设直线PQ是一次函数y=kx+b （k，b为常数，k≠0）的图象. 因为点P（0，-2）和点Q（-4，5） 都在该函数的图象上，所以 解得 因此，直线PQ是一次函数y= -x-2的图象， 从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线. 例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过 P(0，-2)，Q（-4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ Q（-4，5） P（0，-2） b=-2， k·（-4）+b=5. b= -2. k=- 关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是（c，kx+b）.由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc+b=0，于是c=﹣，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣，0）. 因此，关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标为（ ... ...