(课件网) 多个平行四边形结合的综合运用 平行四边形 例 5 如图，四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. B A D C E F 证明 ∵四边形 AEFD 是平行四边形， 又∵四边形 EBCF 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴AD EF . ∥ ＝ ∴BC EF . ∥ ＝ ∴AD BC. ∥ ＝ 一个图形中有几个平行四边形时，利用平行四边形的性质，得出相关图形角边的关系，由此判定出其他四边形也是平行四边形. B A D C E F 如图，在 □ ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，AF 与 DE 相交于点 G，CE 与 BF 相交于点 H. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形. A B D C E F G H 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB CD . ∥ ＝ 又∵ E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴AE CF . ∥ ＝ ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴EH∥GF . 同理可得 EG∥HF. ∴四边形 EHFG 是平行四边形. 例 6 如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH， E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形. A B D C E F G H 证明 如图，连结 EF，交 AC 于点 O. O ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD . 又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴AE = CF . 又∵AB // CD， ∴∠EAO = ∠FCO. 在△AOE 和△COF 中， ∵∠EAO =∠FCO， ∠AOE = ∠COF， AE = CF， ∴△AOE ≌△COF. ∴OE = OF，OA = OC . 又∵AG = CH，∴OG = OH. ∴四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) . A B D C E F G H O 如图，在四边形 ABCD 中，M 是边 BC 的中点，AM、BD 互相平分并交于点 O. 求证: AM DC. ∥ ＝ A B C D M O 证明 如图，连结 MD. ∵ AM、BD 互相平分并交于点 O， ∴四边形 ABMD 是平行四边形. ∴AD BM . ∥ ＝ 又∵ M 是边 BC 的中点， ∴AD MC . ∥ ＝ ∴四边形 AMCD 是平行四边形. ∴AM DC . ∥ ＝ 【选自教材第98页 练习 第1题】 在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = ∠D. 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明: 如图. ∵AB∥CD，∴ ∠B + ∠C ＝180°. ∵∠B ＝∠D，∴ ∠C + ∠D ＝180°. ∴AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形). D A C B 证明:方法一: 如图，连结 AC 交 EF 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC. ∵ AE∥CF，∴ ∠AEO ＝∠CFO. 又∵ ∠AOE ＝∠COF， ∴△AOE ≌ △COF. ∴ OE ＝ OF. 又∵ OA ＝ OC， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). 【选自教材第98页 练习 第2题】 2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB 相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F. 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. E A C F B D O 方法二: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE ＝∠CDF . ∵ AE∥CF，∴ ∠AEF ＝∠CFE. ∴ △ABE ≌ △CDF . ∴ AE ＝ CF. 又∵ AE∥CF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 【选自教材第98页 练习 第2题】 2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB 相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F. 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. E A C F B D O 3. 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，直线 EF 过点 O， 且与 AB、DC 分别相交于点 E 和点 F，直线 GH 过点 O 且与 AD、 BC 分别相交于点 G 和点 H. 求证：四边形 GEHF 是平行四边形. 【选自教材第98页 练习 第3题】 D A C B G E H F O 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝OC，AB∥CD ... ...
