(
课件网) 5.2.2 等差数列的前n项和 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差 数列的通项公式和前n项和公式的关系 数学抽象、数学 运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关 系，并解决相应的问题 数学建模、数学 运算 第一课时 等差数列的前n项和公式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一 层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒 放上同样一堆钢管，如图所示. 【问题】 （1）原来有多少根钢管？ （2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？ 知识点 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 公式形式 Sn＝ Sn＝ na1＋ d 【想一想】 1. 等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？ 提示：2倍关系.由Sn＝ n2＋ n可知，存在2倍关系. 2. 等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？ 提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当 d≠0时，Sn与n是二次函数关系. 1. 等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（ ） A. n B. n（n＋1） C. n（n－1） 解析： 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋ ×1＝ ＝ ＝ ，故选D. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ ，S4＝20，则S6＝ （ ） A. 16 B. 24 C. 36 D. 48 解析： 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋ d＝ 20，即4× ＋ d＝20，解得d＝3，∴S6＝6× ＋ ×3＝3＋ 45＝48. 3. 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），则数列{an}的 前9项和等于 . 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），所以数列{an}是首项 为1，公差为 的等差数列，所以前9项和S9＝9＋ × ＝27. 27 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 等差数列前n项和的有关计算 【例1】 在等差数列{an}中， （1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1； 解：法一 ∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 法二 ∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝ ，即3（a1＋10）＝15. ∴a1＝－5，d＝ ＝3. 解：法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ ， ∴a1＋2d＝ . ∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5× ＝24. （2）已知a2＋a4＝ ，求S5. 法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝ ， ∴S5＝ ＝ × ＝24. 通性通法 等差数列前n项和的有关计算 （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个 量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利 用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问 题.解题时注意整体代换的思想； （2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p ＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式 Sn＝ 结合使用. 【跟踪训练】 1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{an} 的公差为 . 解析：由a3＝3，S6＝21，得 解得 1 2. 已知等差数列{an}中，a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，则n ＝ . 解析：Sn＝n· ＋ · ＝－15，整理得n2－7n－60＝ 0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12. 12 题型二 等差数列前n项和公式的简单应用 【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n， （1）求a1及an； 解：因为Sn＝n2－17n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝12－17×1＝－16， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18. 验证当n＝1时a1＝－16，上式成立， 所以an＝2n－18. （2）判断这个数列是否是等差数列. 解：由an＝2n－18，得an－1＝2（n－1）－18（n≥2）， 所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1 ... ...
