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课件网) 第二课时 数列求和 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 分组转化法求和 【例1】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； 解：因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3（n －1）＝3n－1，n∈N＋. （2）求{an}的前20项和. 解：因为an＋1＝ 所以k∈N＋时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1， ① a2k＋1＝a2k＋2， ② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③ ①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差 数列. 所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2 ＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋ ×3＋20＋ ×3＝300. 通性通法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减. 【跟踪训练】 1. 数列{（－1）nn}的前n项和为Sn，则S2 026＝（ ） A. 1 013 B. －1 013 C. 2 026 D. －2 026 解析： S2 026＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2 025＋2 026）＝1 013. 2. 已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq（n∈N＋，p，q为 常数），且a1，a4，a5成等差数列. （1）求p，q的值； 解：由a1＝3，得2p＋q＝3，又因为a4＝24p＋4q， a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得p＝1，q＝1. （2）求数列{an}前n项和Sn的公式. 解：由（1），知an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋ 2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋ . 题型二 裂项相消法求和 【例2】 已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1， ＝ 9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公比为q，由 ＝9a2a6得 ＝9 ， ∴q2＝ . 由条件可知q＞0，故q＝ . 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝ . 故数列{an}的通项公式为an＝ . （2）设bn＝－lo an，求数列 的前n项和Tn. 解：∵an＝ ，∴bn＝－log ＝2n， ∴ ＝ ＝ ， ∴Tn＝ ＝ ＝ . 通性通法 1. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和. 2. 裂项求和的几种常见类型： （1） ＝ ； （2） ＝ ； （3） ＝ ； （4）若{an}是公差为d的等差数列，则 ＝ . 【跟踪训练】 在等比数列{an}中，a1＝2且2，a2＋1，a3成等差数列. （1）求{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公比为q（q≠0）. 因为2，a2＋1，a3成等差数列，所以2（a2＋1）＝2＋a3， 即2（a1q＋1）＝2＋a1q2. 又a1＝2，所以q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0（舍去）， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. （2）数列{bn}满足a1×a2×a3×…×an＝ ，求数列 的前n 项和. 解：因为a1×a2×a3×…×an＝21×22×23×…×2n＝21＋2 ＋3＋…＋n＝ ＝ ， 所以bn＝ ，从而 ＝ ＝2 ， 所以 的前n项和Sn＝2［ ＋ ＋ ＋…＋ ］ ＝2 ＝ . 题型三 错位相减法求和 【例3】 在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝ 9，a4＋a5＝8b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列 {bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q， . （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； ∵a3＝5，a2＋a5＝6b ... ...
