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课件网) 5.5 数学归纳法 新课程标准解读 核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数 列中的一些简单命题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生 把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 【问题】———公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？ 知识点 数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 （1）当n＝n0时，命题成立； （2）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n ＝k＋1时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明 方法称为数学归纳法. 1. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳 奠基中n0的取值应为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3. 2. 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ （a≠1）”.当 验证n＝1时，上式左端计算所得为 . 1＋a＋a2 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 用数学归纳法证明等式 【例1】 求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ （n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ . 左边＝右边，等式成立. （2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，则 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ . 即当n＝k＋1时，等式也成立. 综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立. 通性通法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于 “看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的 多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多 少项，增加了怎样的项. 【跟踪训练】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n （n＋1）2（其中n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右 边，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10 ＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k ＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝ （k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1 时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】 求证： ＋ ＋…＋ ＞ （n≥2，n∈N＋）. 证明：（1）当n＝2时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，即 ＋ ＋…＋ ＞ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋ ＝ ， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 通性通法 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困 难，此时可 ... ...
