5.3.2 等比数列的前n项和 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算 第一课时 等比数列的前n项和公式 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍. 【问题】 一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？ 知识点 等比数列的前n项和公式 【想一想】 1.等比数列的前n项和公式中Sn＝的适用条件是什么？ 2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？ 3.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？ 1.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（ ） A.4 B.－4 C.2 D.－2 2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于（ ） A.2 B.4 C. D. 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝ . 题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算 【例1】 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. （1）已知a1＝8，an＝，Sn＝，求n； （2）已知S3＝，S6＝，求a1与q. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn. 2.（变条件）若本例（2）中的条件“S3＝，S6＝”变为“S3＝，S6＝”，其他条件不变，结果又如何呢？ 通性通法 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【跟踪训练】 在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8. 题型二 等比数列前n项和的性质 【例2】 等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝ . 尝试解答 通性通法 1.等比数列前n项和的性质 设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则： （1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝； （2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； （3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q； （4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…）仍构成等比数列（公比为qn，n≥2）. 2.运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则会出现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0. 【跟踪训练】 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（ ） A.2 B. C. D.3 2.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式. 题型三 等比数列前n项和的实际应用 【例3】 某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则： （1）该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？ （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 尝试解答 通性通法 解数列应用题的思路和方法 【跟踪训练】 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的 ... ...
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