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课件网) 8.1.1 向量数量积的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的 含义及其物理意义 数学抽象 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 数学运算 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积 判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积 称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大 小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向 与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜ F｜｜s｜ cos θ. 【问题】 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之 间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果 能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由. 知识点一 两个向量的夹角 定 义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作 ＝a， ＝b，则称[0，π]内的 为向量a与向量b的夹 角，记作 范 围 特 例 ＜a，b＞＝0 a与b ＜a，b＞＝π a与b ＜a，b＞＝ a与b垂直，记作 ，规定 与任意向量垂直 ∠AOB ＜a，b＞ 0≤＜a，b＞≤π 同向 反向 a⊥b 零向 量 【想一想】 如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？ 提示：成立. 如图，在△ABC中， ， 的夹角与 ， 的夹角的关系为 . 解析：根据向量夹角定义可知向量 ， 夹角为A，而向量 ， 夹角为π－A，故二者互补. 互 补 知识点二 向量的数量积 1. 定义：当a与b都是非零向量时，称 为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b ＝ . 2. 两个非零向量a，b的数量积的性质 不等式 ｜a·b｜ ｜a｜｜b｜ 恒等式 a·a＝ ＝ ，即｜a｜ ＝ 向量垂直的充要条件 a⊥b ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b ＞ ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ ≤ a2 ｜a｜2 a·b＝0 3. 投影向量及向量数量积的几何意义 （1）设非零向量 ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分 别为A'，B'，则称向量 为向量a在直线l上的 或 ； （2）如果a，b都是非零向量，则称 为 向量a在向量b上的投影的数量； （3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上 的 与b的模的乘积.这就是两个向量数量积 的几何意义. 投影向 量 投影 ｜a｜ cos ＜a，b＞ 投影的数量 【想一想】 1. 向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ 提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、 减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向. 2. 根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ 提示：先求 cos ＜a，b＞＝ ，再根据余弦值求＜a，b ＞. 3. 一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共 线，它们的方向相同还是相反？ 提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共 线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的数量积是一个实数. （ √ ） （2）向量a在b上的投影仍为向量. （ √ ） （3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的 数量相等. （ × ） √ √ × 2. 已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b＝ （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 0 解析： 因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b ＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×3× ＝3. 3. 已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为 ，则a在b上的投影的数量为 （ ） A. B. C. D. 解析： 向量a在b上的投影的数量为｜a｜ cos θ＝3 ... ...
