【培优方案】7.3.1　离散型随机变量的均值（讲义）（学生版）数学（人教A）选择性必修第三册

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质 数学抽象 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值 数学运算 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 数学建模、数据分析 　　 设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个. 【问题】　（1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？ （2）X取上述值时对应的概率分别是多少？ （3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　离散型随机变量的均值 1.定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝　　　　　　　　　　　　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望. 2.意义：均值E（X）刻画的是X取值的“中心位置”，反映了随机变量取值的　　　　　　. 3.性质：若X是离散型随机变量，则 （1）E（X＋b）＝　　　　； （2）E（aX）＝　　　　； （3）E（aX＋b）＝　　　　. 提醒　（1）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X可能取值关于取值概率的加权平均数，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平；（2）由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位. 【想一想】 　离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？ 知识点二　两点分布的均值 　如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝　　　　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化.（　　） （2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平.（　　） （3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（　　） （4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）.（　　） 2.已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E（X）＝（　　） A.2　 　B.2.4　 　C.3.6　 　D.不确定 3.设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝　　　　. 　 题型一 求离散型随机变量的均值 【例1】　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值. 通性通法 求随机变量X的均值的方法和步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； （2）求出X取每个值的概率P（X＝k）； （3）写出X的分布列； （4）利用均值的定义求E（X）. 【跟踪训练】 　袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 题型二 离散型随机变量的均值的性质 【例2】　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E（Y）＝　　　　. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若Y＝2X－3，求E（Y）.　 2.（变设问）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值. 通性通法 求随机变量Y＝aX＋b的均值 （1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（Y）； （2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）. 【跟踪训练】 　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m＝（　　） ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. ... ...