【培优方案】7.1.2　全概率公式（讲义）（学生版）数学（人教A）选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式 新课程标准解读 核心素养 1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算 2.了解贝叶斯公式，并会简单应用 数学抽象、数学运算 　　 　　有三个罐子，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑球，3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 【问题】　如何求取得红球的概率？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P（B）＝　　　　　　　　　　.称为全概率公式. 提醒　全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）. 知识点二　*贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝，i＝1，2，…，n. 提醒　条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝乘法公式 　　　　　　　　　　P（AB）＝P（A）P（B｜A） 　　　　 全概率公式 P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai） 　　　　 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n 【想一想】 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件.（　　） （2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.（　　） （3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B是互斥的.（　　） （4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小.（　　） 2.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为　　　　. 　 题型一 两个事件的全概率公式 【例1】　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 通性通法 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）. 【跟踪训练】 　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率. 题型二 多个事件的全概率问题 【例2】　在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 【母题探究】 （变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 通性通法 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 【跟踪训练】 ... ...