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课件网) 7.3.2 离散型随机变量的方差 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方 差及标准差的概念 数学抽象 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能 解决一些实际问题 数学建模、数学运算 3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用 公式求方差 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100 件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下： 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 【问题】 （1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两名工人的产品 质量吗？ （2）试想利用什么指标可以比较加工质量？ 知识点 离散型随机变量的方差 1. 定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝ ＝ 为随机变 量X的方差，有时也记为Var（X）. （x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋… ＋（xn－E（X））2pn （xi－E（X））2pi 2. 标准差 称 为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 3. 方差的性质 （1）D（X＋b）＝ ； （2）D（aX）＝ ； （3）D（aX＋b）＝ . D（X） a2D（X） a2D（X） 提醒 对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X） 的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的 取值越分散；②方差也可以用公式D（X）＝E（X2）－（E （X））2计算；③若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（其 中p为成功概率）. 【想一想】 随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差是 总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的 变化而变化的.对于 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差 则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随 着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （ × ） （2）若a是常数，则D（a）＝0. （ √ ） （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程 度. （ √ ） （4）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D （X）＝0.25. （ √ ） × √ √ √ 2. 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D（X）＝（ ） A. 0.7 B. 0.61 解析： E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D （X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3） 2×0.2＝0.61. C. －0.3 D. 0 3. 设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： 因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C. 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 求离散型随机变量的方差 【例1】 袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、 黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小 球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值 和方差. 解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3， 则P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ . 故X的分布列为 X 5 4 3 P E（X）＝5× ＋4× ＋3× ＝4. D（X）＝（5－4）2× ＋（4－4）2× ＋（3－4）2× ＝ . 通性通法 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 （1）理解X的意义，写出X的可能取值； （2）写出X的分布列； （3）由均值的定义求出E（X）； （4）利用公式D（X）＝ （xi－E（X））2pi求出D（X）. 【跟踪训练】 甲、乙两 ... ...
