8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 新课程标准解读 核心素养 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理 2.会求两异面直线所成的角 直观想象 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面. 【问题】 （1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？ （2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？ 知识点一 异面直线所成的角 1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 2.当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 . 提醒 （1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 知识点二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b. 提醒 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ） A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 . 题型一 求异面直线所成的角 【例1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 通性通法 求两异面直线所成角的一般步骤 （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角； （2）计算角：求角度，常利用三角形； （3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 提醒 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手： 中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行直线若在外，补上原体在外边. 【跟踪训练】 1.（2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角； （2）FO与BD所成的角. 题型二 证明直线与直线垂直 【例2】 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 通性通法 证明空间中两条直线垂直的方法 （1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直； （2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等. 【跟踪训练】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1. 1.已知直线a，b，c，则（ ） A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D.若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ） A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 3.如图所示，在正方体ABCD- ... ...
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