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课件网) 7.2.2 复数的乘、除运算 新课程标准解读 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象 2.理解复数乘法的运算律 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a， b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满 足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正 整数. 【问题】 复数的运算满足上述的运算律吗？ 知识点一 复数的乘法 1. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋ bi）（c＋di）＝ . （ac－bd）＋（ad＋bc）i 2. 复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ 结合律 （z1z2）z3＝ 分配律 z1（z2＋z3）＝ z2z1 z1（z2z3） z1z2＋z1z3 1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所 得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用. 【想一想】 知识点二 复数的除法 复数代数形式的除法法则 （a＋bi）÷（c＋di）＝ ＝ ＋ i （a，b， c，d∈R，且c＋di≠0）. 提醒 对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的 共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数 化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果 要将实部、虚部分开. ＋ i 1. 已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. 7i D. 7 解析： ∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B. 2. 复数z＝ －i在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 因为z＝ －i＝ －i＝ －i＝－ － i，所以z在复平面内对应的点为（－ ，－ ），位于第三象限. 故选C. 3. （2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单 位），则｜z｜＝ . 解析：由已知可得z＝ ＝ ＝－2i，因此，｜ z｜＝2. 2 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 复数代数形式的乘法运算 【例1】 计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i. 解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注 意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更 简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1. （2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平 面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋ i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是（ ） A. （－∞，1） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞） 解析： 因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在 复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以 解得a＜－1. 题型二 复数代数形式的除法运算 【例2】 计算： （1）（1－2i）÷（2＋i）； 解：（1－2i）÷（ ... ...
