11.3 余弦定理、正弦定理的应用 新课程标准解读 核心素养 1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和物理有关的实际问题 逻辑推理、数学运算 2.通过解决实际问题，掌握数学建模的基本步骤 数学建模 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 知识点 实际应用问题中的有关名词、术语 1.方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点的方位角为α. 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 3.坡角与坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如图所示，坡角为θ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫作坡比，i为坡比. 提醒 应用正、余弦定理解决实际问题的思路 1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（ ） A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 2.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ） A.2 km B.3 km C.4 km D.5 km 3.（2024·苏州月考）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为 米. 题型一 测量距离问题 【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m； （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是 . 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 【跟踪训练】 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离. 题型二 测量高度问题 【例2】 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 【跟踪训练】 （2024·南通月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶 ... ...
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