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课件网) 第2课时 复数的乘方与除法运算 新课程标准解读 核心素养 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指 数幂的运算律在复数范围内仍成立 数学抽象、数学 运算 2.了解i的幂的周期性 数学抽象 3.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立， 我们 知道i1＝i， i2＝－1. 【问题】 i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分别是多少？ 从这些数中，你能总结出什么规律？ 知识点一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 1. 复数范围内幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝ ，（zm）n ＝ ，（z1z2）n＝ . zm＋n zmn 2. in（n∈N*）的周期性 i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ . 提醒 （1）复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整 数指数幂的运算律是一致的；（2）由i的正整数指数幂的含义易 知，对于4个连续的正整数a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0. 1 i －1 －i 知识点二 复数的除法 1. 复数的除法 我们把满足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的复数x ＋yi（x， y∈R）叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作 或 . （a＋bi）÷（c＋di） 2. 复数的除法法则 一般地， ＝ ＝ ＋ i . 提醒 对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母 的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母 实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最 后结果要将实部、虚部分开. ＋ i 1. （多选）下列结论中正确的是（ ） A. i＋i2＋i3＋i4＝0 B. ＝－i C. ＝－i D. ＝－i √ √ √ 解析： 对于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝ 1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正确；对 于B， ＝ ＝ ＝－i，故B正确；对于C， ＝ ＝－i，故C正确；对于D， ＝ ＝ ＝i，故D错 误.故选A、B、C. 2. 设a是实数，且 ＋ 是实数，则a＝（ ） A. B. 1 C. D. 2 解析： ∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ i，又∵（ ＋ ）∈R，∴ ＝0，解得a＝1.故选B. √ 3. （ ）2＝ . 解析：因为 ＝ ＝ .所以（ ）2＝ ［ ］2＝ ＝i. i 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 【例1】 （1）（链接教科书第125页例4）设ω＝－ － i.求证： ①ω2＝ ；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1. 解： 证明：①因为ω2＝ ＝ ＋ i－ ＝－ ＋ i， ＝－ ＋ i， 所以ω2＝ . ②ω2＋ω＋1＝（－ ＋ i）＋ ＋1＝0. ③ω3＝ω·ω2＝（－ － i） ＝（－ ）2－（ i）2 ＝ ＋ ＝1. （2）计算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100. 解： ①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4. ②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0. 通性通法 1. 进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用 的结论： （a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi） ＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i. 2. 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数分别是 0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 【跟踪训练】 1. （ － i）3＝（ ） A. －i B. i C. －1 D. 1 解析： （ － i）3＝（ － i）2（ － i）＝（－ － i） （ － i）＝－ － ＝－1.故选C. √ 2. （2024·江苏东海高中月考）已知复数z＝（ ）2 025，则 的虚部 为（ ） A. －1 B. －i C. 1 D. ... ...
