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课件网) 11.3 余弦定理、正弦定理的应用 新课程标准解读 核心素养 1.能运用正弦定理、余弦定理等知 识和方法解决一些与测量和物理有 关的实际问题 逻辑推理、数学运算 2.通过解决实际问题，掌握数学建 模的基本步骤 数学建模 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 知识点 实际应用问题中的有关名词、术语 1. 方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点的方位角为α. 2. 方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 3. 坡角与坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如 图所示，坡角为θ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫作坡 比，i为坡比. 提醒 应用正、余弦定理解决实际问题的思路 1. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（ ） A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上 C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上 解析： 如图所示. √ 2. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏 东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ） A. 2 km B. 3 km C. 4 km D. 5 km 解析： 作出满足题意的几何图形如图所示，根据 图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝ 2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12，即AB＝2 （km）.所以A，B之间的 距离为2 km.故选A. √ 3. （2024·苏州月考）如图，为测塔AB的高度，某人 在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°， 再沿AC方向前行20（ －1）米到达D点，测得 ∠ADB＝30°，则塔高为 米. 20 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝ x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所 以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔 高为20米. 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 测量距离问题 【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）如图，为了测量河的宽 度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m； 60 解析： tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又AD＋ DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）· tan 75°，∴AD＝60 ，故CD＝60（m）. （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m 的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝ 60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是 . 20 m 解析： 在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°， ∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝ CD＝40，BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝ 30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－ （30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝ ＝ 20 .在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－ 2AC×BC× cos ∠BCA＝ ＋（40 ）2－2×20 ×40 cos 60°＝2 400，∴AB＝20 ，故A，B两点之间的 距离为20 m. 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类 型 A，B两点间不可 达或不可视 A，B两点间可 视，但有一点不 可达 A，B两点都不可达 图 形 方 法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再 用余弦定理求AB 以点A不可达为 例，先测角B， C，BC＝a，再 用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 【跟踪训练】 在某次军事演习中 ... ...
