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课件网) 12.3 复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念 数学抽象 2.理解复数的代数表示及其几何意义 直观想象 3.了解复数加、减运算的几何意义 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在 性”，为进一步研究复数奠定了基础. 【问题】 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来 表示呢？ 知识点一 复平面及复数的几何意义 1. 复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实 数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复平 面 x y 2. 复数的几何意义 3. 复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为 ，则向量 的模叫 作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作 或 .由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ . 提醒 复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜ ｜＝ ；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z ＝｜z｜2；③｜z1｜ －｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. ｜z｜ ｜a＋ bi｜ 知识点二 复数加、减法的几何意义 1. 复数加、减法的几何意义 设向量 ， 分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c， d∈R）对应，且 ， 不共线. 复数加法的 几何意义 以 ， 为两条邻边画 OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的 向量 就是与复数（a＋c）＋ （b＋d）i对应的向量 复数减法的 几何意义 从向量 的终点指向向量 的 终点的向量 就是复数z1－z2对 应的向量 提醒 （1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法 则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 2. 复数的差的模 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝ ，即两个复数的差的模就是复平面内与 这两个复数对应的两点间的 . 距离 1. （多选）下列说法中正确的是（ ） A. 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数 B. 若一个数是实数，则其存在虚部 C. 复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1） D. 复数的模一定是正实数 √ √ 解析： 对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故 A错误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C. 2. （2024·扬州中学期中）复数z＝ ，其中i为虚数单位，则z在复 平面对应的点的坐标为（ ） A. （0，－1） B. （0，1） C. （－1，0） D. （1，0） 解析： z＝ ＝ ＝i，z在复平面对应的点的坐标为 （0，1）.故选B. √ 3. 已知向量 对应的复数为2－3i，向量 对应的复数为3－4i， 则向量 对应的复数的模为 . 解析： ＝ － ＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜ ｜＝｜1－i｜＝ ＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 复数与复平面内的点、向量的关系 【例1】 （1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i， 3－2i对应的点分别为A，B. 若C为线段AB的中点，则向量 对应 的复数是（ ） A. 8＋4i B. 2＋8i √ 解析： 复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的 点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4， 2），故向量 对应的复数为4＋2i.故选C. C. 4＋2i D. 1＋4i （2）（链接教科书第131页练习3题） ... ...
