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课件网) 12.4 复数的三角形式* 新课程标准解读 核心素养 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示， 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi（a，b∈R），复平面 内的点Z（a，b）和平面向量 之间存在着一一对应的关系，如果 以x轴的非负半轴为始边，向量 所在直线为终边的角为θ，向量 的模为r. 【问题】 复数z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ来表示呢？ 知识点一 复数的三角形式 1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角及辐角主值 （1）辐角：以x轴的非负半轴为 、向量 所在的射线 （起点是原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角； （2）辐角主值：适合于 的辐角θ的值叫作复数z＝ a＋bi的辐角主值，记作 ，即0≤arg z＜2π. 始边 0≤θ＜2π arg z 2. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式 设复数z＝a＋bi（z≠0）的辐角为θ，模为r，则z＝ 称为复数z的三角形式.其中r＝ ， cos θ ＝ ， sin θ＝ ，而a＋bi称为复数z的代数形式. r（ cos θ＋i sin θ） 知识点二 复数三角形式乘、除运算法则及其几何意义 1. 复数三角形式的乘（除）法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2）： （1）乘法法则：z1z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2）＝ . 即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积 的辐角等于这两个复数的辐角的和； r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）] （2）除法法则： ＝ ＝ [ cos （θ1－θ2） . 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得 的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. [ cos （θ1－θ2） ＋i sin （θ1－θ2）] 2. 复数乘（除）法运算的三角形式的几何意义 （1）复数乘法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O 按 方向旋转θ2（如果θ2＜0，就要把 绕点O 按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来 的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2. 逆时针 r2 （2）复数除法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O 按 方向旋转θ2，再把它的模变为原来的 ， 得到向量 ， 表示的复数就是商 . 顺时针 【想一想】 对于多个复数相乘，能得到什么结论？ 提示：z1z2…zn＝r1 （ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2）·…·rn （ cos θn＋i sin θn）＝r1r2·…·rn[ cos （θ1＋θ2＋…＋ θn）＋i sin （θ1＋θ2＋…＋θn）]. 当z1＝z2＝…＝zn＝r（ cos θ＋i sin θ）时，[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn . 1. （多选）下列说法中正确的是（ ） A. 任意一个复数都有三角形式 B. 复数的三角形式也可以进行四则运算 C. 任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整 数倍 D. 0的辐角主值为0 解析： 复数的三角形式不能进行四则运算，故B错误，A、 C、D正确.故选A、C、D. √ √ √ 2. 复数1＋i的辐角主值为（ ） A. B. － C. D. － 解析： 1＋i＝ （ cos ＋i sin ）.故选A. √ 3. 复数－2－2i化为三角形式为 ；复数 3 化为代数形式为 ＋ i . 解析：因为r＝ ＝2 ，所以 故arg（－2－2i）＝π＋ ＝ π，从而－2－2i ＝2 . 3 ＝3 ＝ ＋ i. 2 ＋ i 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 复数的辐角及辐角主值 【例1】 （1）（链接教科书第134页例1）复数 －i的辐角主值 ... ...
