7.1.1　数系的扩充和复数的概念

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）. 　　 知识点一｜复数的有关概念 问题1　（1）正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ （2）我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 【知识梳理】 1.定义：我们把形如　　　　（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，　　　　　　所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集. 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的　　　　与　　　　. 　　提醒：（1）i2＝－1；（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算. 【例1】　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 【规律方法】 若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. 训练1　已知复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是（　　） A.2，－4 B.2，5 C.－2，4 D.－2，5 知识点二｜复数的分类 问题2　（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？需满足什么条件？ （2）如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？ 【知识梳理】 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： 复数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 　　提醒：（1）两个虚数不能比较大小；（2）a＝0是复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件. 【例2】　（链接教材P69例1）当实数m取什么值时，复数z＝＋（m2－2m）i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【规律方法】 解决复数分类问题的方法（步骤） （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0. 训练2　（1）若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　　） A.－10 B.10 C.100 D.－10或10 （2）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为　　　　. 知识点三｜复数相等 问题3　复数z＝a＋bi（a，b∈R）是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝2＋3i，那么a，b的值分别是什么？ 【知识梳理】 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di 　　　　　　.特别地，a＋bi＝0 　　　　　. 【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值； （2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 【规律方法】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 训练3　（1）若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的虚部为（　　） A.－i B.－1 C.2i D.2 （2）已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位），且z1＝z2，则（　　） A.a＝－1，b＝1 B.a＝2，b＝－3 C.a＝2，b＝3 D.a＝－2，b＝3 1.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　） A.－1 B.1 C.5 D.7 2.设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.1或－1 3.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　） A.A B C B.B A C C. ... ...